5.1 流形

5.1.1 启发式引论

为阐明这几点，考虑 ${\mathbb{R}}^3$ 中通常的单位半径球面。我们可用两种坐标系——极坐标与球极坐标——来参数化 $S^2$ 的表面（当然也还有其他方式）。极坐标 $\theta$ 与 $\varphi$ 通常由(图 5.1)定义

图 5.1. 球面 $S^2$ 上一点 $P$ 的极坐标 $(\theta ,\varphi )$ 与球极坐标 $(X,Y)$。

$$x=\sin \theta \cos \varphi y=\sin \theta \sin \varphi z=\cos \theta ,\text{\hspace{1em}(5.1)}$$

其中 $\varphi$ 从 0 变到 $2\pi$，$\theta$ 从 0 变到 $\pi$。在球面上可将它们反解，得到

$$\theta ={\tan }^{-1}\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\varphi ={\tan }^{-1}\frac{y}{x}.\text{\hspace{1em}(5.2)}$$

而球极坐标则由从北极到赤道平面的投影映射来定义，如图 5.1所示。首先把北极 $(0,0,1)$ 与球面上的点 $P(x,y,z)$ 相连，然后沿直线延长至赤道平面 $z=0$，交于 $Q(X,Y,0)$。于是 $X$ 与 $Y$ 就是 $P$ 的球极坐标。我们求得

$$X=\frac{x}{1-z}Y=\frac{y}{1-z}.\text{\hspace{1em}(5.3)}$$

这两种坐标系之间的关系为

$$X=\cot \frac{1}{2}\theta \cos \varphi Y=\cot \frac{1}{2}\theta \sin \varphi .\text{\hspace{1em}(5.4)}$$

当然，也可以采用其他系统，例如取不同极轴方向的极坐标，或从 $S^2$ 上不同点出发的投影映射。在球面上，坐标可以一直保持任意，直到需要做某项具体计算为止。[历史上经度是从格林尼治起量的。不过，没有理由不能从纽约或京都起量。]这种坐标选择的任意性正是流形理论的基础：所有坐标系都同样好。这也与物理学的基本原理相一致：无论我们用什么坐标来描述，物理系统的行为都相同。

从这个例子中还能看出另一点：任何坐标系都不可能同时适用于所有地方。让我们来看 $S^2$ 上的极坐标。为确定起见，取赤道 $(\theta =\frac{1}{2}\pi )$。如果让 $\varphi$ 从 0 变到 $2\pi$，那么当我们沿赤道绕行时，它连续变化，直到一直走到 $\varphi =2\pi$。在那里，$\varphi$ 坐标从 $2\pi$ 到 0 出现间断，而附近的点具有相当不同的 $\varphi$ 值。另一种做法是让 $\varphi$ 越过 $2\pi$ 继续下去。这时又会遇到另一个困难：在每一点处，$\varphi$ 都必须取无穷多个值，彼此相差 $2\pi$ 的整数倍。还有一个困难出现在极点处，那里 $\varphi$ 根本没有确定。[站在极点上的探险家处于一种无时间性的状态，因为时间是由经度定义的。]球极坐标在北极处，或在任何未被投影到赤道平面上的点的投影点处，也有困难；而且靠近极点的邻近点具有差别很大的球极坐标。

因此，我们无法用单个坐标系来标记球面上的点，使下面两个条件同时得到满足。

(i) 邻近的点总有邻近的坐标。
(ii) 每一点都有唯一的坐标。

不过要注意，在 $S^2$ 的一部分上引入满足这些要求的坐标，其方式有无穷多种。我们可以利用这一点在 $S^2$ 上定义坐标(coordinate)：引入两个或更多相互重叠的坐标系，每个坐标系覆盖球面的一部分，而球面上各点都要被标记，使得下列条件成立。

(i’) 邻近的点至少在一个坐标系中具有邻近的坐标。 (ii’) 每一点在包含它的每个坐标系中都有唯一的坐标。

例如，我们可以在 $S^2$ 上引入两种球极坐标，一种是从北极作投影映射，另一种是从南极作投影映射。那么，条件 (i’) 和 (ii’) 是否足以建立关于流形的合理理论呢？事实上，我们还需要对坐标系再加一个条件。

(iii) 若两个坐标系重叠，则它们之间以足够光滑的方式相互联系。

没有这个条件，在一个坐标系中可微的函数在另一个坐标系中就可能不可微。

5.1.2 定义

定义 5.1 可微流形(differentiable manifold)

若满足以下条件，则称 $M$ 为 $m$ 维可微流形(differentiable manifold)：

(i) $M$ 是一个拓扑空间；
(ii) $M$ 上给定了由若干对 $\{(U_i,{\phi }_i)\}$ 组成的一族；
(iii) $\{U_i\}$ 是一族覆盖 $M$ 的开集，即 ${\cup }_i{U}_i=M$。${\phi }_i$ 是从 $U_i$ 到 ${\mathbb{R}}^m$ 的开子集 $U_i^{\prime }$ 上的同胚（图 5.2）；并且

图 5.2. 同胚 ${\phi }_i$ 把 $U_i$ 映到开子集 $U_i^{\prime }\subset {\mathbb{R}}^m$ 上，从而为点 $p\in U_i$ 提供坐标。若 $U_i\cap U_j\ne \varnothing$，则从一个坐标系到另一个坐标系的过渡是光滑的。

(iv) 给定 $U_i$ 与 $U_j$ 且 $U_i\cap U_j\ne \varnothing$，则从 ${\phi }_j(U_i\cap U_j)$ 到 ${\phi }_i(U_i\cap U_j)$ 的映射 ${\psi }_{ij}={\phi }_i\circ {\phi }_j^{-1}$ 是无穷次可微的。

称对 $(U_i,{\phi }_i)$ 为一个图卡(chart)，而整个族 $\{(U_i,{\phi }_i)\}$ 则因显而易见的原因称为图册(atlas)。子集 $U_i$ 称为坐标邻域(coordinate neighbourhood)，而 ${\phi }_i$ 称为坐标函数(coordinate function)，或简称为坐标。同胚 ${\phi }_i$ 由 $m$ 个函数 $\{x^1(p),\dots ,x^m(p)\}$ 表示。集合 $\{x^{\mu }(p)\}$ 也称为坐标。点 $p\in M$ 独立于其坐标而存在；如何给一个点指定坐标取决于我们自己。除非同时使用多个坐标系，我们有时采用相当不严谨的记号 $x$ 来表示坐标为 $\{x^1,\dots ,x^m\}$ 的点。由 (ii) 与 (iii) 可知，$M$ 是局部欧几里得的。在每个坐标邻域 $U_i$ 中，$M$ 看起来就像 ${\mathbb{R}}^m$ 的一个开子集，其元素为 $\{x^1,\dots ,x^m\}$。注意，我们并不要求 $M$ 整体上就是 ${\mathbb{R}}^m$。我们生活在地球上，其表面是 $S^2$，而它整体上并不像 ${\mathbb{R}}^2$。然而，它在局部上却像 ${\mathbb{R}}^2$ 的一个开子集。只看一张伦敦地图——它当然看起来像 ${\mathbb{R}}^2$ 的一部分——谁能说出我们生活在一个球面上呢？

若 $U_i$ 与 $U_j$ 相交，则 $U_i\cap U_j$ 中的点被指定了两套坐标系。公理 (iv) 断言，从一个坐标系到另一个坐标系的过渡是光滑的（$C^{\infty }$）。映射 ${\phi }_i$ 给点 $p\in U_i\cap U_j$ 指定 $m$ 个坐标值 $x^{\mu }$（$1\le \mu \le m$），而 ${\phi }_j$ 给同一点指定 $y^{\nu }$（$1\le \nu \le m$），并且从 $y$ 到 $x$ 的过渡 $x^{\mu }=x^{\mu }(y)$ 由 $m$ 个变量的 $m$ 个函数给出。坐标变换函数 $x^{\mu }=x^{\mu }(y)$ 就是映射 ${\psi }_{ji}={\phi }_j\circ {\phi }_i^{-1}$ 的显式形式。于是，可微性已按微积分中的通常意义定义：若每个函数 $x^{\mu }(y)$ 对每个 $y^{\nu }$ 都可微，则坐标变换是可微的。我们本可以把自身限制在直到 $k$ 阶的可微性（$C^k$）。然而，这并不会带来任何有趣的结论。因此，我们干脆要求坐标变换是无穷次可微的，即属于 $C^{\infty }$ 类。现在，坐标已按如下方式指定到 $M$ 上：无论我们以何种方式在 $M$ 上移动，所用的坐标都光滑地变化。

若两个图册 $\{(U_i,{\phi }_i)\}$ 与 $\{(V_j,{\psi }_j)\}$ 的并仍是一个图册，则称这两个图册是相容(compatible)的。相容性是一种等价关系，其等价类称为可微结构(differentiable structure)。也可以说，彼此相容的图册在 $M$ 上定义了同一个可微结构。

在给出例子之前，我们先简要讨论带边流形。到目前为止，我们一直假定坐标邻域 $U_i$ 同胚于 ${\mathbb{R}}^m$ 的一个开集。然而在某些应用中，这一条件过于苛刻，我们需要放宽它。若拓扑空间 $M$ 被一族开集 $\{U_i\}$ 覆盖，而其中每个开集都同胚于 $H^m\equiv \{(x^1,\dots ,x^m)\in {\mathbb{R}}^m|x^m\ge 0\}$ 的一个开集，则称 $M$ 为带边流形(manifold with boundary)，见图 5.3。被映到满足 $x^m=0$ 的点上的那些点所成的集合称为 $M$ 的边界(boundary)，记作 $\partial M$。$\partial M$ 的坐标可由 $m-1$ 个数 $(x^1,\dots ,x^{m-1},0)$ 给出。现在定义光滑性时必须小心。映射 ${\psi }_{ij}:{\phi }_j(U_i\cap U_j)\to {\phi }_i(U_i\cap U_j)$ 一般定义在 $H^m$ 的一个开集上，若它在包含 ${\phi }_j(U_i\cap U_j)$ 的 ${\mathbb{R}}^m$ 的某个开集上是 $C^{\infty }$ 的，则称 ${\psi }_{ij}$ 是光滑的。鼓励读者发挥想象力，因为我们的定义与关于边界的直观概念是协调一致的。例如，实心球 $D^3$ 的边界是球面 $S^2$，而球面的边界是空集。

图 5.3　带边界的流形。点 $p$ 位于边界上。

5.1.3 例子

下面我们给出几个例子，以加深对流形的理解。这些例子与物理学也密切相关。

例 5.1

欧几里得空间 ${\mathbb{R}}^m$ 是最平凡的例子，其中单个图卡就覆盖了整个空间，而 $\phi$ 可以取恒等映射。

这比南部的要短，于是人们可能会怀疑自己生活在一个曲面上。当然，如果一个人住在南半球的城市里，情况就正好相反。

例 5.2

取 $m=1$，并要求 $M$ 是连通的。此时只可能有两种流形：实直线 $\mathbb{R}$ 与圆周 $S^1$。下面我们来具体写出 $S^1$ 的一个图册。为具体起见，取 $xy$ 平面上的圆周 $x^2+y^1=1$。我们至少需要两张图卡。可以按图 5.4所示选取它们。定义 ${\phi }_1^{-1}:(0,2\pi )\to S^1$ 为

图 5.4　圆周 $S^1$ 的两张图卡。

$${\phi }_1^{-1}:\theta \mapsto (\cos \theta ,\sin \theta )\text{\hspace{1em}(5.5a)}$$

其像为 $S^1-\{(1,0)\}$。再定义 ${\psi }_2^{-1}:(-\pi ,\pi )\to S^1$ 为

$${\phi }_2^{-1}:\theta \mapsto (\cos \theta ,\sin \theta )\text{\hspace{1em}(5.5b)}$$

其像为 $S^1-\{(-1,0)\}$。显然 ${\phi }_1^{-1}$ 与 ${\phi }_2^{-1}$ 都是可逆的，而且映射 ${\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_1^{-1}$ 与 ${\phi }_2^{-1}$ 全都连续。因此，${\phi }_1$ 与 ${\phi }_2$ 都是同胚。请验证映射 ${\psi }_{12}={\phi }_1\circ {\phi }_2^{-1}$ 与 ${\psi }_{21}={\phi }_2\circ {\phi }_1^{-1}$ 是光滑的。

例 5.3

$n$ 维球面 $S^n$ 是一个可微流形。它在 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 中实现为

$$\sum _{i=0}^n{\left(x^i\right)}^2=1.\text{\hspace{1em}(5.6)}$$

下面引入坐标邻域

$$U_{i+}\equiv \left\{\left(x^0,x^1,\dots ,x^n\right)\in S^n\mid x^i>0\right\}\text{\hspace{1em}(5.7a)}$$

$$U_{i-}\equiv \left\{\left(x^0,x^1,\dots ,x^n\right)\in S^n\mid x^i<0\right\}.\text{\hspace{1em}(5.7b)}$$

定义坐标映射(coordinate map) ${\phi }_{i+}:U_{i+}\to {\mathbb{R}}^n$ 为

$${\phi }_{i+}\left(x^0,\dots ,x^n\right)=\left(x^0,\dots ,x^{i-1},x^{i+1},\dots ,x^n\right)\text{\hspace{1em}(5.8a)}$$

并定义 ${\phi }_{i-}:U_{i-}\to {\mathbb{R}}^n$ 为

$${\phi }_{i-}\left(x^0,\dots ,x^n\right)=\left(x^0,\dots ,x^{i-1},x^{i+1},\dots ,x^n\right).\text{\hspace{1em}(5.8b)}$$

注意 ${\phi }_{i+}$ 与 ${\phi }_{i-}$ 的定义域不同。${\phi }_{i\pm }$ 是把半球 $U_{i\pm }$ 投影到平面 $x^i=0$ 上所得的投影映射。由(5.8)容易得到过渡函数。以 $S^2$ 为例，坐标邻域为 $U_{x\pm },U_{y\pm }$ 与 $U_{z\pm }$。过渡函数 ${\psi }_{y-x+}\equiv {\phi }_{y-}\circ {\phi }_{x+}^{-1}$ 由下式给出

$${\psi }_{y-x+}:(y,z)\mapsto \left(\sqrt{1-y^2-z^2},z\right)\text{\hspace{1em}(5.9)}$$

它在 $U_{x+}\cap U_{y-}$ 上是无穷次可微的。

练习 5.1

习题 5.1　在本章开头，我们引入了 $S^2$ 上的球极坐标。我们同样可以定义从北极以外的点投影所得的球极坐标。例如，图 5.5 中给出了 $S^2-\{\text{South Pole}\}$ 中的点从南极投影所得的球极坐标 $(U,V)$，以及 $S^2-\{\text{North Pole}\}$ 中的点从北极投影所得的球极坐标 $(X,Y)$。证明 $(U,V)$ 与 $(X,Y)$ 之间的过渡函数是 $C^{\infty }$，并且它们定义了 $M$ 上的一个可微结构。另见 example 8.1。

图 5.5　$S^2$ 上的两个球极坐标系。点 $P$ 可以从北极 N 投影而得到 $(X,Y)$，也可以从南极 S 投影而得到 $(U,V)$。

例 5.4

实射影空间 $\mathbb{R}{P}^n$ 是 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 中过原点的所有直线构成的集合。若 $x=(x^0,\dots ,x^n)\ne 0$，则 $x$ 定义了一条过原点的直线。注意，若存在实数 $a\ne 0$ 使得 $y=ax$，则 $y\in {\mathbb{R}}^{n+1}$ 与 $x$ 定义同一条直线。引入等价关系 $\sim$，称 $x\sim y$，如果存在

$a\in \mathbb{R}-\{0\}$ 使得 $y=ax$。于是 $\mathbb{R}{P}^n=({\mathbb{R}}^{n+1}-\{0\})/\sim$。这 $n+1$ 个数 $x^0,x^1,\dots ,x^n$ 称为齐次坐标(homogeneous coordinates)。齐次坐标不能构成一个好的坐标系，因为 $\mathbb{R}{P}^n$ 是一个 $n$ 维流形（一个 $(n+1)$ 维空间，其中消去了一个一维自由度）。坐标卡的定义如下。首先取坐标邻域 $U_i$ 为满足 $x^i\ne 0$ 的那些直线构成的集合，然后在 $U_i$ 上引入非齐次坐标

$${\xi }_{(i)}^j=x^j/x^i.\text{\hspace{1em}(5.10)}$$

非齐次坐标

$${\xi }_{(i)}=({\xi }_{(i)}^0,{\xi }_{(i)}^1,\dots ,{\xi }_{(i)}^{i-1},{\xi }_{(i)}^{i+1},\dots ,{\xi }_{(i)}^n)$$

（其中略去 ${\xi }_{(i)}^i=1$）在 $U_i$ 上有良好定义，因为 $x^i\ne 0$；而且它们与等价类代表元的选取无关，因为当 $y=ax$ 时 $x^j/x^i=y^j/y^i$。非齐次坐标 ${\xi }_{(i)}$ 给出坐标映射 ${\phi }_i:U_i\to {\mathbb{R}}^n$，即

$${\phi }_i:\left(x^0,\dots ,x^n\right)\mapsto \left(x^0/x^i,\dots ,x^{i-1}/x^i,x^{i+1}/x^i,\dots ,x^n/x^i\right)$$

其中略去 $x^i/x^i=1$。对于 $x=(x^0,x^1,\dots ,x^n)\in U_i\cap U_j$，我们指定两个非齐次坐标 ${\xi }_{(i)}^k=x^k/x^i$ 与 ${\xi }_{(j)}^k=x^k/x^j$。坐标

变换 ${\psi }_{ij}={\phi }_i\circ {\phi }_j^{-1}$ 为

$${\psi }_{ij}:{\xi }_{(j)}^k\mapsto {\xi }_{(i)}^k=\left(x^j/x^i\right){\xi }_{(j)}^k.\text{\hspace{1em}(5.11)}$$

这是乘以 $x^j/x^i$ 的乘法。

在example 4.12中，我们把 $\mathbb{R}{P}^n$ 定义为将对径点等同起来的球面 $S^n$。这一图像与这里的定义是一致的。作为等价类 $[x]$ 的代表元，我们可以取过原点的直线上的点 $|x|=1$。这些点位于单位球面上。由于一条直线与 $S^n$ 的交点有两个，我们必须一致地取其中之一，即邻近的直线由 $S^n$ 中邻近的点代表。这相当于取半球。但要注意，边界（$S^n$ 的赤道）上的对径点按定义是等同的，即 $(x^0,\dots ,x^n)\sim -(x^0,\dots ,x^n)$。这个“半球”同胚于把边界 $S^{n-1}$ 上的对径点等同起来的球体 $D^n$。

例 5.5

将 $\mathbb{R}{P}^n$ 作一个直接的推广，便得到格拉斯曼流形(Grassmann manifold)。$\mathbb{R}{P}^n$ 的元素是 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 中的一个一维子空间。格拉斯曼流形 $G_{k,n}(\mathbb{R})$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中所有 $k$ 维平面的集合。注意 $G_{1,n+1}(\mathbb{R})$ 正是 $\mathbb{R}{P}^n$。$G_{k,n}(\mathbb{R})$ 的流形结构以与 $\mathbb{R}{P}^n$ 类似的方式定义。

设 $M_{k,n}(\mathbb{R})$ 为所有秩为 $k$ 的 $k\times n$ 矩阵的集合（$k\le n$）。取 $A=(a_{ij})\in M_{k,n}(\mathbb{R})$，并由 $a_i=(a_{ij})$ 定义 ${\mathbb{R}}^n$ 中的 $k$ 个向量 $a_i$（$1\le i\le k$）。由于 $\text{rank }A=k$，这 $k$ 个向量 $a_i$ 线性无关，并张成 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个 $k$ 维平面。然而要注意，$M_{k,n}(\mathbb{R})$ 中有无穷多个矩阵给出同一个 $k$ 维平面。取 $g\in \mathrm{GL}(k,\mathbb{R})$，并考虑矩阵 $\bar{A}=gA\in M_{k,n}(\mathbb{R})$。$\bar{A}$ 与 $A$ 定义同一个 $k$ 维平面，因为 $g$ 只是在 $k$ 维平面内旋转基。引入等价关系 $\sim$：若存在 $g\in \mathrm{GL}(k,\mathbb{R})$ 使得 $\bar{A}=gA$，则称 $\bar{A}\sim A$。我们把 $G_{k,n}(\mathbb{R})$ 与陪集空间 $M_{k,n}(\mathbb{R})/\mathrm{GL}(k,\mathbb{R})$ 等同起来。

下面来求 $G_{k,n}(\mathbb{R})$ 的图卡。取 $A\in M_{k,n}(\mathbb{R})$，并令 $\{A_1,\dots ,A_l\}$（$l=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$）为 $A$ 的所有 $k\times k$ 阶子式构成的集合。由于 $\text{rank }A=k$，必存在某个 $A_{\alpha }$（$1\le \alpha \le l$）使得 $\det A\ne 0$。例如，设由前 $k$ 列构成的子式 $A_1$ 的行列式不为零，

$$A=\left(A_1,\widetilde{A_1}\right)\text{\hspace{1em}(5.12)}$$

其中 $\widetilde{A_1}$ 是一个 $k\times (n-k)$ 矩阵。我们取 $A$ 所属等价类的代表元为

$$A_1^{-1}\cdot A=\left(I_k,A_1^{-1}\cdot \widetilde{A_1}\right)\text{\hspace{1em}(5.13)}$$

其中 $I_k$ 是 $k\times k$ 单位矩阵。注意 $A_1^{-1}$ 总是存在的，因为 $\det A_1\ne 0$。于是，实自由度由 $k\times (n-k)$ 矩阵 $A_1^{-1}\cdot {\tilde{A}}_1$ 的元素给出。我们把 $G_{k,n}(\mathbb{R})$ 的这个子集记作 $U_1$。$U_1$ 是一个坐标邻域，其坐标由 $A_1^{-1}\cdot {\tilde{A}}_1$ 的 $k(n-k)$ 个元素给出。由于 $U_1$ 同胚于 ${\mathbb{R}}^{k(n-k)}$，我们得到

$$\dim G_{k,n}(\mathbb{R})=k(n-k).\text{\hspace{1em}(5.14)}$$

当 $\det A_{\alpha }\ne 0$ 时，其中 $A_{\alpha }$ 由第 $(i_1,i_2,\dots ,i_k)$ 列组成，我们乘以 $A_{\alpha }^{-1}$ 便得到代表元

$$\begin{array}{rl}& \text{列}\to i_1{i}_2\dots i_k\\ & A_{\alpha }^{-1}\cdot A=\left(\begin{array}{ccccccc}\dots & 1& \dots & 0& \dots \dots & 0& \dots \\ \dots & 0& \dots & 1& \dots \dots & 0& \dots \\ \dots & \cdot & \dots & \cdot & \dots \dots & \cdot & \dots \\ \dots & 0& \dots & 0& \dots \dots & 1& \dots \end{array}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(5.15)}$$

其中未明确写出的元素构成一个 $k\times (n-k)$ 矩阵。我们把 $M_{k,n}(\mathbb{R})$ 中满足 $\det A_{\alpha }\ne 0$ 的这个子集记作 $U_{\alpha }$。这个 $k\times (n-k)$ 矩阵的元素就是 $U_{\alpha }$ 的坐标。

射影空间与格拉斯曼流形之间的关系是显然的。$M_{1,n+1}(\mathbb{R})$ 的元素是一个向量 $A=(x^0,x^1,\dots ,x^n)$。由于 $A$ 的第 $\alpha$ 个子式 $A_{\alpha }$ 是一个数 $x^{\alpha }$，条件 $\det A_{\alpha }\ne 0$ 就变成 $x^{\alpha }\ne 0$。代表元(5.15)正是非齐次坐标

$$\begin{array}{rl}& (x^{\alpha }{)}^{-1}\left(x^0,x^1,\dots ,x^{\alpha },\dots ,x^n\right)\\ & =\left(x^0/x^{\alpha },x^1/x^{\alpha },\dots ,x^{\alpha }/x^{\alpha }=1,\dots ,x^n/x^{\alpha }\right).\end{array}$$

设 $M$ 是带有图册 $\{(U_i,{\phi }_i)\}$ 的 $m$ 维流形，$N$ 是带有 $\{(V_j,{\psi }_j)\}$ 的 $n$ 维流形。积流形 $M\times N$ 是一个 $(m+n)$ 维流形，其图册为 $\{(U_i\times V_j),({\phi }_i,{\psi }_j)\}$。$M\times N$ 中的点写作 $(p,q)$，其中 $p\in M$，$q\in N$，而坐标函数 $({\phi }_i,{\psi }_j)$ 作用于 $(p,q)$ 得到 $({\phi }_i(p),{\psi }_j(p))\in {\mathbb{R}}^{m+n}$。读者应验证积流形确实满足定义 5.1的公理。

例 5.6

环面 $T^2$ 是两个圆周的积流形，即 $T^2=S^1\times S^1$。若把每个圆周的极角记为 ${\theta }_i\mathrm{mod}2\pi$（$i=1,2$），则 $T^2$ 的坐标为 $({\theta }_1,{\theta }_2)$。由于每个 $S^1$ 都嵌入在 ${\mathbb{R}}^2$ 中，故 $T^2$ 可以嵌入 ${\mathbb{R}}^4$ 中。我们常把 $T^2$ 想象为 ${\mathbb{R}}^3$ 中一个甜甜圈的表面，然而在这种情况下，我们不可避免地要引入曲面的弯曲。这是由“嵌入”带来的外在特征。当我们说“环面是平坦流形”时，指的是嵌入在 ${\mathbb{R}}^4$ 中的平坦曲面。详见定义 5.3。

我们也可以考虑 $n$ 个圆周的直积，

$$T^n=\underset{n}{\underbrace{S^1\times S^1\times \cdots \times S^1}}.$$

显然 $T^n$ 是一个 $n$ 维流形，其坐标为 $({\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n)\mathrm{mod}2\pi$。它可以看作一个相对面互相等同的 $n$ 维立方体，$n=2$ 的情形见figure 2.4。

尾注

原书尾注 1：正文锚点待核

严格说来，城市北部两条经度之间的距离略有

来源与版本

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