4.2 基本群的一般性质

4.2.1 弧连通性与基本群

在section 2.3中，我们定义拓扑空间$X$为弧连通的(arcwise connected)，如果对任意$x_0,x_1\in X$，都存在路径$\alpha$使得$\alpha (0)=x_0$且$\alpha (1)=x_1$。

定理 4.2

设 $X$ 是弧连通的拓扑空间，且 $x_0,x_1\in X$。则 ${\pi }_1(X,x_0)$ 同构于 ${\pi }_1(X,x_1)$。

证明

设 $\eta :I\to X$ 是一条路径，满足 $\eta (0)=x_0$ 且 $\eta (1)=x_1$。若 $\alpha$ 是以 $x_0$ 为基点的环路，则 ${\eta }^{-1}\ast \alpha \ast \eta$ 是以 $x_1$ 为基点的环路（图 4.6）。给定元素 $[\alpha ]\in {\pi }_1(X,x_0)$，这一对应诱导出唯一的元素 $[{\alpha }^{\prime }]=[{\eta }^{-1}\ast \alpha \ast \eta ]\in {\pi }_1(X,x_1)$。我们把这一映射记为 $P_{\eta }:{\pi }_1(X,x_0)\to {\pi }_1(X,x_1)$，于是 $[{\alpha }^{\prime }]=P_{\eta }([\alpha ])$。

图 4.6. 由以 $x_0$ 为基点的环路 $\alpha$ 构造出以 $x_1$ 为基点的环路 ${\eta }^{-1}\ast \alpha \ast \eta$。

下面证明 $P_{\eta }$ 是同构。首先，$P_{\eta }$ 是同态，因为对 $[\alpha ],[\beta ]\in {\pi }_1(X,x_0)$，有

$$\begin{array}{rl}{P}_{\eta }([\alpha ]\ast [\beta ])& =[{\eta }^{-1}]\ast [\alpha ]\ast [\beta ]\ast [\eta ]\\ & =[{\eta }^{-1}]\ast [\alpha ]\ast [\eta ]\ast [{\eta }^{-1}]\ast [\beta ]\ast [\eta ]\\ & =P_{\eta }([\alpha ])\ast P_{\eta }([\beta ]).\end{array}$$

为证明 $P_{\eta }$ 是双射的，我们引入 $P_{\eta }$ 的逆映射。定义映射 $P_{\eta }^{-1}:{\pi }_1(X,x_1)\to {\pi }_1(X,x_0)$，它在 $[{\alpha }^{\prime }]$ 上的作用为 $P_{\eta }^{-1}([{\alpha }^{\prime }])=[\eta \ast \alpha \ast {\eta }^{-1}]$。

显然 $P^{-1}$ 是 $P_{\eta }$ 的逆映射，因为

$$P_{\eta }^{-1}\circ P_{\eta }([\alpha ])=P_{\eta }^{-1}([{\eta }^{-1}\ast \alpha \ast \eta ])=[\eta \ast {\eta }^{-1}\ast \alpha \ast \eta \ast {\eta }^{-1}]=[\alpha ].$$

于是 $P_{\eta }^{-1}\circ P_{\eta }={\mathrm{id}}_{{\pi }_1(X,x_0)}$。由对称性，又有 $P_{\eta }\circ P_{\eta }^{-1}={\mathrm{id}}_{{\pi }_1(X,x_1)}$。由exercise 2.3可知 $P_{\eta }$ 是单射且是满射。

因此，若 $X$ 是弧连通的，则由于对任意 $x_0,x_1\in X$ 都有 ${\pi }_1(X,x_0)\cong {\pi }_1(X,x_1)$，我们无需指定基点，而可直接写作 ${\pi }_1(X)$。

练习 4.1

(1) 设 $\eta$ 与 $\zeta$ 是从 $x_0$ 到 $x_1$ 的路径，且 $\eta \sim \zeta$。证明 $P_{\eta }=P_{\zeta }$。

(2) 设 $\eta$ 与 $\zeta$ 是满足 $\eta (1)=\zeta (0)$ 的路径。证明 $P_{\eta \ast \zeta }=P_{\zeta }\circ P_{\eta }$。

4.2.2 基本群的同伦不变性

路径与环路的同伦等价可以很容易地推广到任意映射。设 $f,g:X\to Y$ 为连续映射。若存在连续映射 $F:X\times I\to Y$ 使得 $F(x,0)=f(x)$ 且 $F(x,1)=g(x)$，则称 $f$ 与 $g$ 同伦，记作 $f\sim g$。映射 $F$ 称为 $f$ 与 $g$ 之间的同伦。

定义 4.6 同伦等价(homotopy equivalence)

设 $X$ 与 $Y$ 为拓扑空间。若存在连续映射 $f:X\to Y$ 与 $g:Y\to X$，使得 $f\circ g\sim {\mathrm{id}}_Y$ 且 $g\circ f\sim {\mathrm{id}}_X$，则称 $X$ 与 $Y$ 同伦等价（同伦型(homotopy type)相同），记作 $X\simeq Y$。映射 $f$ 称为同伦等价(homotopy equivalence)，$g$ 称为它的同伦逆(homotopy inverse)。[注：若 $X$ 与 $Y$ 同胚，则 $X$ 与 $Y$ 具有相同的同伦型，但反之未必成立。例如，一点 $\{p\}$ 与实直线 $\mathbb{R}$ 具有相同的同伦型，但 $\{p\}$ 与 $\mathbb{R}$ 并不同胚。]

命题 4.2

在拓扑空间集合中，“具有相同的同伦型”是一种等价关系。

证明

自反性：$X\simeq X$，其中 ${\mathrm{id}}_X$ 是同伦等价。对称性：设 $X\simeq Y$，其中 $f:X\to Y$ 是同伦等价。则 $Y\simeq X$，这里的同伦等价是 $f$ 的同伦逆。传递性：设 $X\simeq Y$，$Y\simeq Z$。假设 $f:X\to Y$、$g:Y\to Z$ 是同伦等价，而 $f^{\prime }:Y\to X$、$g^{\prime }:Z\to Y$ 分别是它们的同伦逆。于是

$$\begin{array}{rl}& (g\circ f)\left(f^{\prime }\circ g^{\prime }\right)=g\left(f\circ f^{\prime }\right)g^{\prime }\sim g\circ {\mathrm{id}}_Y\circ g^{\prime }=g\circ g^{\prime }\sim {\mathrm{id}}_Z\\ & (f^{\prime }\circ g^{\prime })(g\circ f)=f^{\prime }(g^{\prime }\circ g)f\sim f^{\prime }\circ {\mathrm{id}}_Y\circ f=f^{\prime }\circ f\sim {\mathrm{id}}_X\end{array}$$

由此可得 $X\simeq Z$。

$\square$

基本群最引人注目的性质之一是：同伦型相同的两个拓扑空间具有相同的基本群。

定理 4.3

设 $X$ 与 $Y$ 是同伦型相同的拓扑空间。若 $f:X\to Y$ 是同伦等价，则 ${\pi }_1(X,x_0)$ 与 ${\pi }_1(Y,f(x_0))$ 同构。

下面的推论可由定理 4.3直接得到。

推论 4.1

基本群在同胚下不变，因此是一个拓扑不变量。

在这个意义上，我们必须承认，基本群对拓扑空间的分类不如同胚那样严格。我们最多只能断言：若拓扑空间 $X$ 与 $Y$ 的基本群不同，则 $X$ 不可能与 $Y$ 同胚。不过要注意，包括基本群在内的同伦群在物理学中有许多应用，这一点我们将在适当的时候看到。应当强调，同伦群在物理学中的主要用途不是对空间进行分类，而是对映射或场位形进行分类。

对于任意一对 $X$ 与 $Y$ 而言，要体会“同伦型相同”的含义是相当困难的。然而在实际中常常出现 $Y$ 是 $X$ 的子空间的情形。这时我们断言：若 $Y$ 是由 $X$ 经连续形变得到的，则 $X\simeq Y$。

定义 4.7 收缩核(retract)、收缩映射(retraction)

设 $R$（$\ne \varnothing$）是 $X$ 的子空间。若存在连续映射 $f:X\to R$ 使得 $f{|}_R={\mathrm{id}}_R$，则称 $R$ 为 $X$ 的收缩核(retract)，称 $f$ 为收缩映射。

注意，这里把整个 $X$ 映射到 $R$ 上，同时保持 $R$ 中的点不动。图 4.7 就是收缩核与收缩映射的一个例子。

图 4.7. 圆周 $R$ 是圆环 $X$ 的收缩核。箭头表示该收缩映射的作用。

定义 4.8 形变收缩核(deformation retract)

设 $R$ 是 $X$ 的子空间。若存在连续映射 $H:X\times I\to X$ 使得

$$H(x,0)=xH(x,1)\in R\text{对任意}x\in X\text{\hspace{1em}(4.5)}$$

$$H(x,t)=x\text{对任意}x\in R\text{以及任意}t\in I.\text{\hspace{1em}(4.6)}$$

则称空间 $R$ 为 $X$ 的形变收缩核(deformation retract)。注意，$H$ 是 ${\mathrm{id}}_X$ 与收缩映射 $f:X\to R$ 之间的同伦，且在形变过程中保持 $R$ 中所有点不动。

收缩核未必是形变收缩核。如图 4.8所示，圆周 $R$ 是 $X$ 的收缩核，但不是形变收缩核，因为 $X$ 中的洞阻碍了把 ${\mathrm{id}}_X$ 连续形变为该收缩映射。由于 $X$ 与 $R$ 具有相同的同伦型，故有

图 4.8. 圆周 $R$ 不是 $X$ 的形变收缩核。

$${\pi }_1(X,a)\cong {\pi }_1(R,a)a\in R.\text{\hspace{1em}(4.7)}$$

例 4.1

设 $X$ 为单位圆周，$Y$ 为圆环，

$$X=\left\{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mid 0\le \theta <2\pi \right\}\text{\hspace{1em}(4.8)}$$

$$Y=\left\{r{e}^{i\theta }\mid 0\le \theta <2\pi ,\frac{1}{2}\le r\le \frac{2}{3}\right\}\text{\hspace{1em}(4.9)}$$

如图 4.7所示。定义 $f:X\hookrightarrow Y$ 为 $f({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta })={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$，定义 $g:Y\to X$ 为 $g(r{e}^{\mathrm{i}\theta })={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$。于是 $f\circ g:r{e}^{\mathrm{i}\theta }\mapsto {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$，$g\circ f:{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mapsto {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$。注意到 $f\circ g\sim {\mathrm{id}}_Y$，$g\circ f={\mathrm{id}}_X$。存在同伦

$$H(r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta },t)=\{1+(r-1)(1-t)\}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$$

它在 ${\mathrm{id}}_X$ 与 $f\circ g$ 之间进行插值，并保持 $X$ 上的点不动。因此，$X$ 是 $Y$ 的形变收缩核。至于基本群，我们有 ${\pi }_1(X,a)\cong {\pi }_1(Y,a)$，其中 $a\in X$。

定义 4.9 可缩的(contractible)

若点 $a\in X$ 是 $X$ 的形变收缩核，则称 $X$ 是可缩(contractible)的。

设 $c_a:X\to \{a\}$ 为常值映射。若 $X$ 是可缩的，则存在同伦 $H:X\times I\to X$，使得对任意 $x\in X$ 都有 $H(x,0)=c_a(x)=a$ 与 $H(x,1)={\mathrm{id}}_X(x)=x$，并且对任意 $t\in I$ 都有 $H(a,t)=a$。这个同伦 $H$ 称为收缩。

例 4.2

$X={\mathbb{R}}^n$ 可缩到原点 0。事实上，若用 $H(x,t)=tx$ 定义 $H:{\mathbb{R}}^n\times I\to \mathbb{R}$，则 (i) 对任意 $x\in X$ 都有 $H(x,0)=0$ 与 $H(x,1)=x$；(ii) 对任意 $t\in I$ 都有 $H(0,1)=0$。由此可见，${\mathbb{R}}^n$ 的任意凸子集都是可缩的。

练习 4.2

习题 4.2. 设 $D^2=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x^2+y^2\le 1\}$。证明单位圆周 $S^1$ 是 $D^2-\{0\}$ 的形变收缩核。再证明单位球面 $S^n$ 是 $D^{n+1}-\{0\}$ 的形变收缩核，其中 $D^{n+1}=\{x\in {\mathbb{R}}^{n+1}||x|\le 1\}$。

定理 4.4

可缩空间 $X$ 的基本群是平凡群，即 ${\pi }_1(X,x_0)\cong \{e\}$。特别地，${\mathbb{R}}^n$ 的基本群是平凡群，即 ${\pi }_1({\mathbb{R}}^n,x_0)\cong \{e\}$。

证明

可缩空间与一点 $\{p\}$ 具有相同的基本群，而一点的基本群是平凡群。

若弧连通空间 $X$ 的基本群是平凡群，则称 $X$ 是单连通的(simply connected)，见section 2.3。

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