B.6 第10章至第12章

问题 1：

考虑一个描述一维空间中自由粒子的量子系统，其大小为 $L$ （波函数满足 $ψ (q, t) = ψ (q + L, t),$ ）。若在时刻 $t = 0$ 的波函数由下式给出

ψ (q, 0) = C (sin (\frac{6 π}{L} q) + cos (\frac{4 π}{L} q + ϕ_{0}))

其中 $C$ 是常数， $ϕ_{0}$ 是角度，求所有 $t$ 的波函数。对于 $C$ 的哪些值，这是一个归一化波函数 $(\int ∣ ψ (q, t) ∣^{2} d q = 1)?$

考虑一维自由粒子量子系统在 $t = 0$ 时刻的一个态，该态由在 $q = 0$ 处达到峰值的Gaussian给出

ψ (q, 0) = \frac{C}{π} e^{- C q^{2}}

其中 $C$ 是一个正实常数。

证明对于 $t > 0$ ，波函数 $ψ (q, t)$ 仍为高斯函数，但其宽度不断增大。

现在考虑初始态 $ψ (q, 0)$ 的情形，其傅里叶变换在 $k = k_{0}$ 处有峰值

ψ (k, 0) = \frac{C}{π} e^{- C (k - k_{0})^{2}}

初始波函数 $ψ (q, 0)?$ 是什么

证明在较晚时刻， $∣ ψ (q, t) ∣^{2}$ 在一点附近达到峰值，该点以速度 $\frac{ℏ k _{0}}{m}$ 移动。

证明传播子的极限当 $T \to 0$

U (T, q_{T} - q_{0}) = \frac{m}{i 2 π T} e^{- \frac{m}{i 2 T} (q_{T} - q_{0})^{2}}

是一个a $δ$ -函数分布。

使用 12.6 节的柯西积分公式方法，从方程 12.13 推导传播子的方程 12.9。

在第10章中，我们描述了质量为 $m$ 的自由非相对论粒子在 $R^{3}$ 中的量子系统。利用张量积，你会如何描述由两个这样的全同粒子组成的系统？求出哈密顿算符和动量算符。为这样的系统求能量和动量本征态的一组基，首先假设这些粒子是玻色子，然后假设这些粒子是费米子。

来源与版本

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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