B.5 第9章

B.5 第9章

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 特征值 · 不可约表示

问题 1：

考虑 $SU(2)$ 在两个自旋表示的张量积 $V^1\otimes V^1$ 上的作用。根据 Clebsch-Gordan 分解，它按 $V^0\oplus V^2$ 分解为不可约表示。

1. 证明

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right)\otimes \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1}\right)\otimes \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right)\right)$$

是张量积的$V^0$分量的一个基，为此先计算$SU(2)$对该向量的作用，然后计算$\mathfrak{su}(2)$对向量$(i.e.$的作用，计算${\pi }^{\prime }(X)$对该向量的作用，其中$\pi$是张量积表示，而$X$是$\mathfrak{su}(2),$的基元素）。

2. 证明

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right)\otimes \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right),\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right)\otimes \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1}\right)\otimes \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right)\right),\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1}\right)\otimes \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1}\right)$$

给出不可约表示 $V^2$ 的一个基，方法是证明它们是 ${\pi }^{\prime }(S_3)$ 的特征向量且具有正确的特征值（权重），并计算 $\mathfrak{su}(2)$ 的升算符和降算符在这些向量上的作用。

问题2：

证明代数 $S^{\ast }(V^{\ast })$ 同构于向量空间 $V$ 上的多项式函数代数

上一节: B.4 第8章 · 下一节: B.6 第10章至第12章 · English version

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 537、538、539、540、541、542、543、544、545、546、547、548、549、550、551、552、553、554、555、556

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：7f317d1896fa748af4cb9570310ed7801a8bef7ef97dd5d1d2ea35f0099d5952

译稿产物 SHA-256：990cbfa689456f304078547957a949f29a27c8ecb8b9969826d93f3e363e800f

机翻模型：deepseek-v4.1-flash