B.7 第14章至第16章

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 李括号

问题 1：

考虑一个在二维空间中运动的粒子，其哈密顿算子为

h = \frac{1}{2 m} ((p_{1} - B q_{2})^{2} + p_{2}^{2})

• 求与该函数相关联的向量场 $X_{h}$ 。

• 证明这些量

p_{1} and p_{2} - B q_{1}

是守恒的。

• 写出该系统的哈密顿方程，并求出轨迹 $(q (t), p (t))$ 的一般解。

该系统描述了一个在平面内运动的粒子，受到正交于该平面的磁场作用。你应当发现轨迹是平面内的圆，其频率称为拉莫尔频率。

考虑群 $S O (3)$ 通过同时旋转位置向量和动量向量在相空间 $R^{6}$ 上的作用。

• 对于 $so (3)$ 的三个基元素 $l_{j}$ ，证明矩映射给出的函数 $μ_{l_{j}}$ 正是角动量的分量。

• 证明这些映射

l_{j} \in so (3) \to μ_{l_{j}}

给出一个从 so(3) 到相空间上函数构成的李代数（此类函数上的李括号为泊松括号）的李代数同态。

在与问题2相同的语境下，计算泊松括号

{μ_{l_{j}}, q_{k}}

在角动量函数 $μ_{l_{j}}$ 与位形空间坐标 $q_{j}$ 之间。将此计算与……的计算进行比较

π^{'} (l_{j}) e_{k}

对于 $π$ ，是 $S O (3)$ 在 $R^{3}$ 上的自旋-1 表示（向量表示）。

考虑相空间 $R^{2 d}$ 的保持 Ω 的线性变换构成的辛群 $S p (2 d, R)$ 。

• 考虑相空间 $R^{2 d}$ 的线性变换群，这些变换以相同方式作用于位置和动量，并保持位置空间与动量空间上的标准内积。证明该群是 $S p (2 d, R)$ 的子群，且同构于 $O (d)$

• 利用 $S p (2 d, R)$ 与满足方程 16.10 的矩阵之间的等同，哪些矩阵给出上述子群？

• 再次用矩阵来表示，这个子群的李代数是什么？

• 将 $S p (2 d, R)$ 的李代数与坐标和动量的二次函数等同起来，哪些这样的二次函数属于 $S O (d)$ 子群的李代数？

• 考虑函数

\frac{1}{2} j = 1 \sum d (q_{j}^{2} + p_{j}^{2})

作为 $S p (2 d, R) ?$ 的李代数的一个元素，这对应于什么矩阵？证明：取该矩阵的指数，可得到 Sp(2d, $R$ ) 的一个 $S O (2)$ 子群。这个 $S O (2)$ 是上述 $S O (d)$ 的子群吗？

来源与版本

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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机翻模型：deepseek-v4.1-flash