10 动量与自由粒子

我们现在转向传统量子力学课程通常首先讨论的问题：描述在物理空间 ${\mathbf{R}}^3$ 中运动的自由粒子的量子系统。这与自由粒子的经典力学描述相当不同，后者将在第14章中回顾。$\mathrm{A}$ 常见的引入方式是始于德布罗意1924年的建议：正如光子可以表现得像粒子或波一样，物质粒子也应如此。已知光子携带的能量由 $E=\hslash \omega$ 给出，其中 $\omega$ 是波的角频率。德布罗意的提议是，具有动量 $\mathbf{p}=\hslash \mathbf{k}$ 的物质粒子也可以表现得像波，其对空间位置 $\mathbf{q}$ 的依赖由

$$e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{q}}$$

这一设想在薛定谔1926年初发现的一种量子力学版本中得以实现，其中状态空间是

$$\mathcal{H}=L^2({\mathbf{R}}^3)$$

这是 ${\mathbf{R}}^3$ 上平方可积复值函数的空间，称为“波函数”。该算符

$$\mathbf{P}=-i\hslash \nabla$$

将具有特征值$\hslash \mathbf{k}$，即德布罗意动量，因此可以将其认定为动量算符。

在本章中，我们的讨论将强调动量算符的核心作用。该算符与空间平移的关系，将如同哈密顿算子与时间平移的关系。在这两种情形中，这些算符都是对应于量子态空间 $\mathcal{H}$ 上平移群（分别为三个空间方向和一个时间方向上的平移）的酉表示的李代数表示算符。

激发自由粒子量子理论的一种方式是，无论它是什么，在空间和时间的平移下，它都应具有与经典情形类似的行为。在第14章中我们将看到，在经典力学的哈密顿形式中，动量向量的分量给出空间平移群${\mathbf{R}}^3$的李代数的一个基，能量给出时间平移群$R$的李代数的一个基。援引能量与动量之间的经典关系

$$E=\frac{|\mathbf{p}{|}^2}{2m}$$

在非相对论力学中，通过下式将哈密顿算符与动量算符联系起来

$$H=\frac{|\mathbf{P}{|}^2}{2m}$$

关于波函数，对于这种 $H$ 的选择，抽象薛定谔方程 1.1 变为偏微分方程

$$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi (\mathbf{q},t)=\frac{-{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2\psi (\mathbf{q},t)$$

对于自由粒子的波函数。

English contents

本章目录

• 10.1 群R及其表示
• 10.2 时间与空间中的平移
  • 10.2.1 能量与时间平移群R
  • 10.2.2 动量与空间平移群 ${\mathbf{R}}^3$
• 10.3 自由粒子的能量-动量关系与薛定谔方程
• 10.4 进一步阅读

上一章：9 张量积、纠缠与自旋相加

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