B.8 第17章

B.8 第17章

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数

问题 1：

这是格罗嫩沃尔德-范霍夫定理证明的一部分。

• 证明可以将 $q^2{p}^2$ 以两种方式写成泊松括号

$$q^2{p}^2=\frac{1}{3}\{q^{2}p,p^{2}q\}=\frac{1}{9}\{q^3,p^3\}$$

• 假设我们可以通过一个李代数同态 ${\pi }^{\prime }$ 来量子化 $q,p$ 中的任意多项式，该同态将带有泊松括号的 $q,p$ 中的多项式映射为带有对易子的 $Q,P$ 中的多项式，并且其方式扩展了标准的薛定谔表示

$${\pi }^{\prime }(q)=-iQ,{\pi }^{\prime }(p)=-iP,{\pi }^{\prime }(1)=-i1$$

进一步假设以下关系对低次多项式成立（实际上可以证明这些关系是必要的）：

$${\pi }^{\prime }(qp)=-i\frac{1}{2}(QP+PQ),{\pi }^{\prime }(q^2)=-i{Q}^2,{\pi }^{\prime }(p^2)=-i{P}^2$$ $${\pi }^{\prime }(q^3)=-i{Q}^3,{\pi }^{\prime }(p^3)=-i{P}^3$$

于是证明

$${\pi }^{\prime }(q^{2}p)=-i\frac{1}{2}(Q^{2}P+P{Q}^2)$$

（提示：使用 $\{q^3,p^2\}=6q^{2}p)$

• 同时证明

$${\pi }^{\prime }(q{p}^2)=-i\frac{1}{2}(Q{P}^2+P^{2}Q)$$

• 最后，证明

$${\pi }^{\prime }\left(\frac{1}{9}\{q^3,p^3\}\right)=-i\left(-\frac{2}{3}1-2iQP+Q^2{P}^2\right)$$

和

$${\pi }^{\prime }\left(\frac{1}{3}\{q^{2}p,p^{2}q\}\right)=-i\left(-\frac{1}{3}1-2iQP+Q^2{P}^2\right)$$

这展示了一个矛盾。

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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译稿产物 SHA-256：990cbfa689456f304078547957a949f29a27c8ecb8b9969826d93f3e363e800f

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