B.9 第18章和第19章

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 李代数表示 · 李括号

问题 1：

从李代数 so(3) 出发，其基为 $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ ，考虑新的基元素，它们由保持 $l_{3}$ 不变并重新缩放给出

l_{1} \to l_{1} / R, l_{2} \to - l_{2} / R

其中 $R$ 是一个实参数。证明在极限 $R \to \infty$ 下，这些新的基元素满足 $E (2)$ 的李代数的李括号关系。因此，群 $E (2)$ 有时被称为 $S O (3)$ 的一个“缩并”。

对于群 $E (2)$ 的情形，证明在其李代数的任意表示 $π^{'}$ 中，都存在一个卡西米尔算符

∣ P ∣^{2} = π^{'} (p_{1}) π^{'} (p_{1}) + π^{'} (p_{2}) π^{'} (p_{2})

它与所有李代数表示算符 $(i.e.$ 对易，其中 $π^{'} (p_{1}), π^{'} (p_{2}), π^{'} (l))$

对于群 $E (3)$ 的情形，类似地证明存在两个卡西米尔算符。

∣ P ∣^{2} = π^{'} (p_{1}) π^{'} (p_{1}) + π^{'} (p_{2}) π^{'} (p_{2}) + π^{'} (p_{3}) π^{'} (p_{3})

和

L \cdot P = π^{'} (l_{1}) π^{'} (p_{1}) + π^{'} (l_{2}) π^{'} (p_{2}) + π^{'} (l_{3}) π^{'} (p_{3})

与所有李代数表示算符对易。

证明 $E (3)$ 卡西米尔算符 $L \cdot P$ 在能量为 $E > 0$ 的自由粒子波函数上的 $E (3)$ 表示中平凡作用。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 537、538、539、540、541、542、543、544、545、546、547、548、549、550、551、552、553、554、555、556

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：7f317d1896fa748af4cb9570310ed7801a8bef7ef97dd5d1d2ea35f0099d5952

译稿产物 SHA-256：990cbfa689456f304078547957a949f29a27c8ecb8b9969826d93f3e363e800f

机翻模型：deepseek-v4.1-flash