7.3 海森堡绘景

7.3 海森堡绘景

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值 · 伴随表示

迄今为止，对时间依赖性的处理使用的是物理学家所称的量子力学“薛定谔绘景”。$\mathcal{H}$中的态是时间的函数，遵循由哈密顿算子可观测量$H,$确定的薛定谔方程，而可观测量的自伴算符$O$则是时间无关的。时间演化由酉变换给出

$$U(t)=e^{-itH},|\psi (t)⟩=U(t)|\psi (0)⟩$$

$U(t)$ 反而可用于构造一个酉变换，将时间依赖性置于可观测量中，而将其从态中移除，从而得到所谓的“海森堡绘景”。具体做法如下：

$$|\psi (t)⟩\to |\psi (t){⟩}_H=U^{-1}(t)|\psi (t)⟩=|\psi (0)⟩,\mathcal{O}\to {\mathcal{O}}_H(t)=U^{-1}(t)\mathcal{O}U(t)$$

其中 ${}^{66}{\mathrm{H}}^5$ 下标表示在处理时间依赖性时所选择的海森堡绘景。容易看出，由特征值和期望值给出的物理可观测量在两种绘景中是相同的：

$${}_H⟨\psi (t)|{\mathcal{O}}_H|\psi (t){⟩}_H=⟨\psi (t)|U(t)(U^{-1}(t)\mathcal{O}U(t))U^{-1}(t)|\psi (t)⟩=⟨\psi (t)|\mathcal{O}|\psi (t)⟩$$

在海森堡绘景中，动力学由关于算符而非关于态的微分方程给出。回顾我们在伴随表示讨论中（见方程5.1）的公式

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}(e^{tX}Y{e}^{-tX})& =\left(\frac{d}{dt}(e^{tX}Y)\right)e^{-tX}+e^{tX}Y\left(\frac{d}{dt}{e}^{-tX}\right)\\ & =X{e}^{tX}Y{e}^{-tX}-e^{tX}Y{e}^{-tX}X\end{array}$$

将此与

$$Y=\mathcal{O},X=iH$$

我们得到

$$\frac{d}{dt}{\mathcal{O}}_H(t)=[iH,{\mathcal{O}}_H(t)]=i[H,{\mathcal{O}}_H(t)]$$

而这个方程决定了海森堡绘景中可观测量随时间的演化。

将此应用于磁场中自旋$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\end{array}$系统的情况，并取可观测量$S$（即$S_j$，合在一起作为列向量），我们得到

$$\frac{d}{dt}{\mathbf{S}}_H(t)=i[H,{\mathbf{S}}_H(t)]=i\frac{eg}{2mc}[{\mathbf{S}}_H(t)\cdot \mathbf{B},{\mathbf{S}}_H(t)]\text{\hspace{1em}(7.3)}$$

由上述讨论可知，解将是

$${\mathbf{S}}_H(t)=U(t){\mathbf{S}}_H(0)U(t{)}^{-1}$$

对于

$$U(t)=e^{-it\frac{ge|\mathbf{B}|}{2mc}\mathbf{S}\cdot \frac{\mathbf{B}}{|\mathbf{B}|}}$$

根据方程6.5以及其中对向量与2乘2矩阵的等同，自旋向量可观测量在海森堡绘景中通过绕磁场向量$B$以角速度$\frac{ge|\tilde{\mathbf{B}}|}{2mc}$旋转而演化。

上一节：7.2 磁场中的自旋1/2粒子 · 下一节：7.4 复射影空间 · English version

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 75、76、77、78、79、80、81、82、83、84、85、86、87、88

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：bfb0bda113ac1733dd883dd63c618e40cc1f08b1a13e7fa976c698e605889637

译稿产物 SHA-256：f0491f596c384c1bbc45eeb831ee6418d0ab1bd81ad0ef2af3993f53b979b3e1

机翻模型：deepseek-v4.1-flash