7.2 磁场中的自旋1/2粒子

7.2 磁场中的自旋1/2粒子

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 伴随算子 · 特征值 · 李代数 · 李代数表示 · 不可约表示

在第3章中我们看到，一个具有$\mathcal{H}={\mathbf{C}}^2$的一般量子系统可以通过$U(2)$在${\mathbf{C}}^2$上的作用来理解。自伴可观测量（在相差一个因子$i$的意义下）对应于相应的李代数表示。$U(1)\subset U(2)$子群与所有其他部分对易，可以单独分析，这里我们只考虑$SU(2)$子群。对于任意这样的系统，群$SU(2)$没有特别的几何意义。当它作为旋转群的双覆盖出现时，称该量子系统携带${}^6{\mathrm{spin}}^{†}$，特别是“自旋$\frac{1}{2}d{s}^{,}$对应于二维不可约表示（在第8章中我们将讨论更高自旋值的态空间）。

如前所述，我们取算符$X_j,j=1,2,3$作为李代数su(2)的标准基，其中

$$X_j=-i\frac{{\sigma }_j}{2}$$

它们满足对易关系

$$[X_1,X_2]=X_3,[X_2,X_3]=X_1,[X_3,X_1]=X_2$$

为了与物理学的形式体系建立联系，我们将定义自伴算符

$$S_j=i{X}_j=\frac{{\sigma }_j}{2}\text{\hspace{1em}(7.1)}$$

一般地，对于反自伴算符（即从酉李代数表示中得到的算符，也是指数化后得到酉算符的算符），我们将通过乘以 $i$ 来关联一个自伴算符。这些自伴算符具有实特征值（在此情形下为 $\pm \frac{1}{2})$），因此受到物理学家的青睐，作为可观测量，因为实验结果由实数给出。在相反方向上，给定物理学家的可观测量自伴算符，我们将乘以 −$i$ 以得到一个反自伴算符（它可能是某个酉李代数表示的算符）。

请注意，物理学文献中这些算符的常规定义包含一个因子ℏ：

$$S_j^{phys}=i\hslash X_j=\frac{\hslash {\sigma }_j}{2}$$

随后在取指数以得到群元素时，引入一个补偿因子 $1/\hslash$

$$\Omega (\theta ,\mathbf{w})=e^{-i\frac{\theta }{\hslash }\mathbf{w}\cdot {\mathbf{S}}^{phys}}\in SU(2)$$

它们不依赖于ℏ。这一约定的原因与旋转对${\mathbf{R}}^3$上函数的作用有关（见第19章），也与ℏ在动量算符定义中的出现有关。我们对$S_j$的定义以及使用（见方程6.3）对旋转的定义

$$\Omega (\theta ,\mathbf{w})=e^{-i\theta \mathbf{w}\cdot \mathbf{S}}=e^{\theta \mathbf{w}\cdot \mathbf{X}}$$

将不会包含这些 $\hslash ,$ 的因子，但无论如何，当我们按照标准选择采用使 $\hslash =1$ 的单位制时，它们将等价于通常的物理学定义

在$\mathcal{H}={\mathbf{C}}^2$中，具有可观测量$S_j$的确定值的态将是$S_j$的特征向量，而可观测量的值则为相应的特征值，即$\pm \frac{1}{2}$。测量理论假设，若我们对任意态$|\psi ⟩$进行对应于$S_j$的测量，那么我们将会

• 以概率 $c_{+}$ 得到值 $+\frac{1}{2}$，并使状态处于 $S_j$ 的具有特征值 $+\frac{1}{2}$ 的特征向量 $|j,+\frac{1}{2}⟩$ 中

• 以概率 $c_{-}$ 得到值 $:-\frac{1}{2}$，并使状态处于 $S_j$ 的属于特征值 $-\frac{1}{2}$ 的特征向量 $|j,-\frac{1}{2}⟩$ 中

其中，如果

$$|\psi ⟩=\alpha |j,+\frac{1}{2}⟩+\beta |j,-\frac{1}{2}⟩$$

我们有

$$c_{+}=\frac{|\alpha {|}^2}{|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2},c_{-}=\frac{|\beta {|}^2}{|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2}$$

在这样的测量之后，任何试图测量另一个 $S_k,k\ne j$ 的尝试都将以相等的概率给出 $\pm \frac{1}{2}$（因为 $\mid j,\pm \frac{1}{2}⟩$ 与 $|k,\pm \frac{1}{2}⟩$ 的内积在相差一个相位的意义下相等），并使系统处于 $S_k$ 的相应特征向量。

若量子系统处于任意态 $|\psi ⟩$，则它对于某个可观测量 $A,$ 可能没有确定的值，但 $A$ 的“期望值”可以计算。这是对由特征向量（它们全都正交）构成的 $H$ 的一组基求和，即相应的特征值按其出现概率加权求和。在此情形 $(A=S_j)$ 下，利用 $S_j$ 的特征向量展开来计算这个和，得到

$$\begin{array}{rl}\frac{⟨\psi |A|\psi ⟩}{⟨\psi |\psi ⟩}& =\frac{(\overline{\alpha }⟨j,+\frac{1}{2}|+\overline{\beta }⟨j,-\frac{1}{2}|)A(\alpha |j,+\frac{1}{2}⟩+\beta |j,-\frac{1}{2}⟩)}{(\overline{\alpha }⟨j,+\frac{1}{2}|+\overline{\beta }⟨j,-\frac{1}{2}|)(\alpha |j,+\frac{1}{2}⟩+\beta |j,-\frac{1}{2}⟩)}\\ & =\frac{|\alpha {|}^2(+\frac{1}{2})+|\beta {|}^2(-\frac{1}{2})}{|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2}\\ & =c_{+}(+\frac{1}{2})+c_{-}(-\frac{1}{2})\end{array}$$

人们常常通过归一化态来简化此类计算，使得分母 $⟨\psi |\psi ⟩$ 为 1。注意，只要特征向量具有正交性和完备性，同样的计算对于测量可观测量 $A,$ 的各个特征值的概率在一般情况下也成立。

对于自旋为 $\begin{array}{l}\frac{1}{2}\end{array}$ 的粒子，群 $Spin(3)=SU(2)$ 通过旋量表示作用于态，其中元素 $\Omega (\theta ,\mathbf{w})\in SU(2)$ 的作用为

$$|\psi ⟩\to \Omega (\theta ,\mathbf{w})|\psi ⟩$$

正如我们在第6章中所看到的，$\Omega (\theta ,\mathbf{w})$ 也通过共轭作用于自伴矩阵，当进行该对应识别时，这一作用对应于向量的旋转

$$\mathbf{v}\leftrightarrow \mathbf{v}\cdot \mathbf{\sigma }$$

（见方程 6.5）。在此等同下，$S_j$ 对应于基向量 ${\mathbf{e}}_j$（相差一个因子 2）。它们的变换规则可写为

$$S_j\to S_j^{\prime }=\Omega (\theta ,\mathbf{w})S_j\Omega (\theta ,\mathbf{w}{)}^{-1}$$

和

$$\left(\begin{array}{c}{S}_1^{\prime }\\ S_2^{\prime }\\ S_3^{\prime }\end{array}\right)=R(\theta ,\mathbf{w}{)}^T\left(\begin{array}{c}{S}_1\\ S_2\\ S_3\end{array}\right)$$

注意，回顾 4.1 节中的讨论，像这样对基向量集合进行的旋转涉及作用于坐标的矩阵 $R(\theta ,\mathbf{w})$ 的转置 $R(\theta ,\mathbf{w}{)}^T$。

回顾 3.3 节中的讨论，我们由 $\mathcal{H}={\mathbf{C}}^2$ 所描述的自旋自由度具有由哈密顿算子描述的动力学

$$H=-\mathbf{\mu }\cdot \mathbf{B}\text{\hspace{1em}(7.2)}$$

这里 $B$ 是描述磁场的向量，并且

$$\mu =g\frac{-e}{2mc}\mathbf{S}$$

是一个称为磁矩算符的算符。其中出现的常数为：−e 电荷，$c$ 光速，$m$ 粒子质量，以及 ${}^{g,}$ 一个称为“旋磁比”的无量纲数，对于电子约为 2，对于质子约为 5.6。

薛定谔方程是

$$\frac{d}{dt}|\psi (t)⟩=-i(-\mu \cdot \mathbf{B})|\psi (t)⟩$$

带解

$$|\psi (t)⟩=U(t)|\psi (0)⟩$$

其中

$$U(t)=e^{it\mathbf{\mu }\cdot \mathbf{B}}=e^{it\frac{-ge}{2mc}\mathbf{S}\cdot \mathbf{B}}=e^{t\frac{ge}{2mc}\mathbf{X}\cdot \mathbf{B}}=e^{t\frac{ge|\mathbf{B}|}{2mc}\mathbf{X}\cdot \frac{\mathbf{B}}{|\mathbf{B}|}}$$

因此，态的时间演化在时刻 $t$ 由同一个 $SU(2)$ 元素给出，该元素作用于向量时，给出绕轴 $\begin{array}{r}\mathbf{w}=\frac{\mathbf{B}}{|\mathbf{B}|}\end{array}$ 旋转一个角度

$$\frac{ge|\mathbf{B}|t}{2mc}$$

那么，是否正在发生一个绕$w$的旋转，其角速度为$\frac{ge|\mathbf{B}|}{2mc}$

这个简单系统所描述的非平凡物理内容之多令人印象深刻，包括：

• 塞曼效应：这是当原子置于恒定磁场中时发生的原子能级分裂。相对于无磁场时的能级，其中 $\mathcal{H}={\mathbf{C}}^2$ 中的两个态具有相同能量，上述哈密顿算子中的项增加了

$$\pm \frac{ge|\mathbf{B}|}{4mc}$$

对于这两个能级，它们之间的分裂与磁场的大小成正比。

• 斯特恩-格拉赫实验：这里让一束自旋为 $\begin{array}{l}\frac{1}{2}\end{array}$ 的量子系统通过非均匀磁场。我们尚未讨论粒子运动，因此这里涉及的内容比简单的二态系统更多。然而，结果表明，可以以这样一种方式安排它，从而选出一个特定方向 $w$，并将束分裂为两个分量，对于算符 $\mathbf{w}\cdot \mathbf{s}$，其本征值分别为 $+\frac{1}{2}$ 和 $-\frac{1}{2}$

• 核磁共振波谱学：一个自旋 $\frac{1}{2}$ 可以受到随时间变化的磁场 $\mathbf{B}(t)$ 的作用，而这样的系统将由相同的薛定谔方程描述（尽管此时解不能仅通过矩阵的指数运算得到）。原子核提供了自旋 $\begin{array}{l}\frac{1}{2}\end{array}$ 系统，可以用随时间和空间变化的磁场对其进行探测，从而对其构成的材料进行成像。

• 量子计算：构建量子计算机的尝试涉及试图将多个此类系统（量子比特）组合在一起，使它们与环境扰动隔离，但仍允许以保持其量子行为的方式与系统相互作用。

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来源版本：2025-10-20

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