伴随表示 / Adjoint representation

Szekeres · §19.4 李变换群

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设 $\mathcal{A}$ 为一个李代数，$X$ 为 $\mathcal{A}$ 中的任意元素。

(a) 证明由 ${\mathbf{ad}}_X(Y)=[X,Y]$ 定义的线性算符 ${\mathrm{ad}}_X:\mathcal{A}\to \mathcal{A}$ 是从 $\mathcal{A}$ 到 $\mathcal{G}\mathcal{L}(\mathcal{A})$ 的李代数同态（称为 伴随表示(adjoint representation)）。

(b) 对任意李群 $G$，证明由 $C_g(a)=ga{g}^{-1}$ 定义的每个内自同构 $C_g:G\to G$（见 2.4 节）都是李群自同构，并且由 $\mathrm{Ad}(g)=C_{g\ast }$ 定义的映射 $\mathrm{Ad}:G\to GL(\mathcal{G})$ 是李群同态。

(c) 证明 ${\mathbf{Ad}}_{\ast }=\mathbf{ad}.$

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原书上下文：§19.4

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原文位置：§19.4；PDF 页 19、20；印刷页 577、578

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Woit · §5.1 Lie algebras

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定义（伴随表示）。伴随表示 $(Ad,\mathfrak{g})$ 由同态给出

$$Ad:g\in G\to Ad(g)\in GL(\mathfrak{g})$$

其中 $Ad(g)$ 通过 $X\in \mathfrak{g}$ 作用

$$(Ad(g))(X)=gX{g}^{-1}$$

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原文位置：§5.1；PDF 页 66；印刷页 49

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Woit · §5.4 Lie algebra representations

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定义（伴随李代数表示）。$(ad,\mathfrak{g})$ 是由下式给出的 李代数表示

$$X\in \mathfrak{g}\to ad(X)$$

其中 $ad(X)$ 定义为从 $\mathfrak{g}$ 到自身的线性映射，由下式给出

$$Y\to [X,Y]$$

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来源版本：2025-10-20

原文位置：§5.4；PDF 页 74；印刷页 57

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