11.1 周期边界条件与群 U(1)

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 复内积 · 特征值 · 李代数 · 李代数表示 · 不可约表示 · 圆群 U(1)

在本节中，我们将描述一种处理不可归一化本征态所引起问题的方法，首先考虑单个空间维数的简化情形。在这种一维情形下，空间 $R$ 被圆 $S^{1}$ 取代。这等价于物理学家的方法，即施加“周期边界条件”，也就是在一个区间上定义理论，然后将区间的两端等同起来。位置变量 $q$ 于是可以看作一个角 $ϕ$ ，并且可以将内积定义为

⟨ ψ_{1}, ψ_{2} ⟩ = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \overline{ψ_{1} (ϕ)} ψ_{2} (ϕ) d ϕ

于是状态空间为

H = L^{2} (S^{1})

圆上复值平方可积函数构成的空间。

不是群 $R$ 通过平移作用于自身，而是群 $S O (2)$ 在圆上的标准旋转作用。群中的元素 $g (θ)$ 是将圆逆时针旋转角度 $θ$ 的旋转，或者如果我们用角度 $ϕ$ 来参数化圆，则只是平移。

ϕ \to ϕ + θ

通过与情形 $G = R .$ 中相同的论证，我们可以利用由方程1.3给出的函数上的表示，得到 $H$ 上的一个表示。

π (g (θ)) ψ (ϕ) = ψ (ϕ - θ)

若 $X$ 是李代数 so(2) 的一个基（例如将圆取为 $R^{2}$ 中的单位圆，即 2 乘 2 的旋转矩阵， $X = (1 0) 0, g (θ) = e^{θ X})$ ），则李代数表示由取导数给出

π^{'} (a X) f (ϕ) = \frac{d}{d θ} f (ϕ - a θ)_{∣ θ = 0} = - a \frac{d}{d ϕ} f (ϕ)

因此我们有（如同 $R$ 情形，见方程 10.2）

π^{'} (a X) = - a \frac{d}{d ϕ}

该算符定义在 $H = L^{2} (S^{1})$ 的一个稠密子空间上，并且是斜伴随的，因为（利用分部积分）

⟨ ψ_{1}, \frac{d}{d ϕ} ψ_{2} ⟩ = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \overline{ψ_{1}} \frac{d}{d ϕ} ψ_{2} d ϕ = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} (\frac{d}{d ϕ} (\overline{ψ_{1}} ψ_{2}) - (\frac{d}{d ϕ} \overline{ψ_{1}}) ψ_{2}) d ϕ = - ⟨ \frac{d}{d ϕ} ψ_{1}, ψ_{2} ⟩

$π^{'} (X)$ 的本征函数是 $e^{in ϕ}$ ，其中 $n \in Z$ ，我们也将它们写作态向量 | $n$ ⟩。这些是正交归一的

⟨ n ∣ m ⟩ = δ_{nm} (11.1)

并给出空间 $L^{2} (S^{1})$ 的一个可数基。这个基对应于上文所述将 $H$ 作为 $S O (2)$ 的表示分解为不可约表示。有

(π, L^{2} (S^{1})) = \oplus_{n \in Z} (π_{n}, C) (11.2)

其中 $π_{n}$ 是由乘法作用给出的不可约一维表示

π_{n} (g (θ)) = e^{in θ}

关于 $S^{1}$ 上函数的傅里叶级数理论指出，任何函数 $ψ \in$ $L^{2} (S^{1})$ 都可以按此基展开：

定理

11.1（傅里叶级数）。 $I f ψ \in L^{2} (S^{1})$ ，则
$∣ ψ ⟩ = ψ (ϕ) = n = - \infty \sum + \infty c_{n} e^{in ϕ} = n = - \infty \sum + \infty c_{n} ∣ n ⟩$
其中
$c_{n} = ⟨ n ∣ ψ ⟩ = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} e^{- in ϕ} ψ (ϕ) d ϕ$

这是在 $L^{2} (S^{1})$ 上的范数意义下的等式，即，

N \to \infty lim ∣∣ ψ - n = - N \sum + N c_{n} e^{in ϕ} ∣∣ = 0

$ψ \in L^{2} (S^{1})$ 对应的条件就是

n = - \infty \sum + \infty ∣ c_{n} ∣^{2} < \infty

关于系数 $c_{n}$

利用 $∣ n ⟩$ 的正交性，可以很容易地推导出 $c_{n}$ 的公式。关于该定理的详细证明，可参见例如 [27] 和 [84]。该定理给出了 $\overset{ˉ}{S}^{1}$ 上的平方可积函数与 $Z$ 上的平方可和函数之间的一种等价（作为带厄米内积的复向量空间）。作为酉 $S O (2)$ 表示，这就是方程 11.2 的等价。

群 $S^{1}$ 的李代数与加法群 $R$ 的李代数相同，而我们为 $S^{1}$ 对函数的作用所找到的 $π^{'} (X)$ ，其与动量算符的关系与 $R$ 情形中的关系相同。 $So .$ 我们可以使用同一个动量算符

P = - i ℏ \frac{d}{d ϕ}

其满足

P ∣ n ⟩ = ℏ n ∣ n ⟩

通过将空间从非紧的 $R$ 变为紧的 $S^{1}$ ，我们现在得到的动量不再取任意实数值，而只能取整数倍的ℏ。

求解薛定谔方程

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} ψ (ϕ, t) = \frac{P ^{2}}{2 m} ψ (ϕ, t) = \frac{- ℏ ^{2}}{2 m} \frac{\partial ^{2}}{\partial ϕ ^{2}} ψ (ϕ, t)

如前所述，我们得到

E ψ_{E} (ϕ) = \frac{- ℏ ^{2}}{2 m} \frac{d ^{2}}{d ϕ ^{2}} ψ_{E} (ϕ)

作为特征向量方程。它有解的正交标准基 $∣ n ⟩$ ，其中

E = \frac{ℏ ^{2} n ^{2}}{2 m}

薛定谔方程在时间上是一阶的，其可能解的空间可以与固定时刻的可能初值空间等同。该解空间的元素可以由

• 复值平方可积函数 $ψ (ϕ, 0) \in L^{2} (S^{1})$ ，即圆 $S^{1}$ 上的函数

• 复数的平方可和序列 $c_{n}$ ，即整数 $Z .$ 上的函数

$c_{n}$ 可由 $ψ (ϕ, 0)$ 利用傅里叶系数公式确定

c_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} e^{- in ϕ} ψ (ϕ, 0) d ϕ

给定 $c_{n}$ ，相应的薛定谔方程解将是

ψ (ϕ, t) = n = - \infty \sum + \infty c_{n} e^{in ϕ} e^{- i \frac{ℏ n ^{2}}{2 m} t}

为了得到更符合实际的结果，我们需要让圆的周长取任意值 $L,$ ，并且可以通过考虑极限 $L \to \infty$ 来研究空间 $R$ 中的原始问题。为此，我们只需将变量从 $ϕ$ 变换为 $ϕ_{L}$ ，其中

ϕ_{L} = \frac{L}{2 π} ϕ

动量算符现在将是

P = - i ℏ \frac{d}{d ϕ _{L}}

其本征值将以 $\frac{2 π ℏ}{L}$ 为单位量子化。能量本征值将为

E = \frac{2 π ^{2} ℏ ^{2} n ^{2}}{m L ^{2}}

注意，只要圆的尺寸 $L$ 是有限的，这些值就是离散的且非负的。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 129、130、131、132、133、134、135、136、137、138、139、140、141、142

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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