12.1 位置算符

12.1 位置算符

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 伴随算子 · 特征值 · 谱定理

在函数（或分布）的位置变量 $q,$ 的状态空间 $\mathcal{H}$ 上，可以定义：

定义（位置算符）

位置算符 $Q$ 由下式给出

$$Q\psi (q)=q\psi (q)$$

注意，这个算符在定义上与动量算符 $P;$ 有类似的问题：它可以把 $L^2(\mathbf{R})$ 中的一个函数变为不再平方可积的函数。与 $P,$ 一样，它在施瓦茨空间 $\mathcal{S}(\mathbf{R})$ 上以及分布 $S^{\prime }(\mathbf{R})$ 上都有良好定义。同样与 $P,$ 一样，它在 $\mathcal{S}(\mathbf{R})$ 或 $L^2(\mathbf{R})$ 中没有本征函数，但它在 $S^{\prime }(\mathbf{R})$ 中确实有本征函数。由于

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }q\delta (q-q^{\prime })f(q)dq=q^{\prime }f(q^{\prime })={\int }_{-\infty }^{+\infty }{q}^{\prime }\delta (q-q^{\prime })f(q)dq$$

有分布等式

$$q\delta (q-q^{\prime })=q^{\prime }\delta (q-q^{\prime })$$

因此，$\delta (q-q^{\prime })$ 是 $Q$ 的一个特征函数，其特征值为 $q^{\prime }$。

算符$Q$与$P$不对易，因为

$$[Q,P]f=-iq\frac{d}{dq}f+i\frac{d}{dq}(qf)=if$$

并且我们得到（暂时重新引入ℏ）基本算符对易关系

$$[Q,P]=i\hslash 1$$

海森堡对易关系。这意味着$Q$与自由粒子哈密顿算子$\begin{array}{r}H=\frac{1}{2m}{P}^2\end{array}$也不对易，因此与动量不同，位置不是守恒量。

对于有限维状态空间，回忆一下，关于自伴算符的谱定理（4.1）意味着任何状态都可以写成该算符的特征向量的线性组合。在这个无限维情形下，公式

$$\psi (q)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (q-q^{\prime })\psi (q^{\prime })d{q}^{\prime }\text{\hspace{1em}(12.1)}$$

可以解释为任意态按 $Q$ 的特征向量的连续线性组合展开，特征值为 $q^{\prime }$ ，即 $\delta$ 函数 $\delta (q-$ $q^{\prime })$ 。傅里叶反演公式（11.4）

$$\psi (q)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{ikq}\tilde{\psi }(k)dk$$

类似地，给出按 $P.$ 的特征向量 $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{ikq}$ 的展开，其特征值为 $k.$。

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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机翻模型：deepseek-v4.1-flash