12.2 动量空间表示

12.2 动量空间表示

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值

我们开始讨论自由粒子的状态空间$H$时，先取状态为定义在位置空间上的波函数$\psi (q)$，并将$\mathrm{of}$ variously视为属于$\mathcal{S}(\mathbf{R}),{\mathcal{L}}^2(\mathbf{R})$或$S^{\prime }(\mathbf{R})$。利用傅里叶变换，它把这样的函数变为其傅里叶变换

$$\tilde{\psi }(k)=\mathcal{F}\psi =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-ikq}\psi (q)dq$$

在同类函数空间中，我们在 11.5 节看到，态空间 $H$ 可以改为取作动量空间上的函数空间 $\tilde{\psi }(k)$。我们将把这样的 $\mathcal{H}.$ 选择称为，其中算符 $P$ 现在作用为

$$P\tilde{\psi }(k)=k\tilde{\psi }(k)$$

动量空间表示，与先前的位置空间表示相对。根据Plancherel定理11.2，这些是群$R$的酉等价表示，在位置空间情形下通过位置变量中的平移a作用，在动量空间情形下通过乘以相位因子$e^{ika}$作用

在动量空间表示中，$P$ 的特征函数是分布 $\delta (k-k^{\prime })$，其特征值为 $k^{\prime }.$，而一个态按特征向量的展开为

$$\tilde{\psi }(k)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (k-k^{\prime })\tilde{\psi }(k^{\prime })d{k}^{\prime }\text{\hspace{1em}(12.2)}$$

位置算符是

$$Q=i\frac{d}{dk}$$

其具有本征函数

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-ik{q}^{\prime }}$$

而态按$Q$的特征向量展开正是傅里叶变换公式11.3。

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