13 海森堡群与薛定谔表示
在我们对自由粒子的讨论中，我们只使用了空间平移群和时间平移群的作用，找到了相应的可观测量，即自伴的动量算符和哈密顿算子和。不过我们已经看到，傅里叶变换允许对位置和动量变量以及相应的非对易位置和动量算符和进行完全对称的处理。
和 算符满足称为海森堡对易关系的关系，这些关系最早出现在 1925 年海森堡及其合作者关于完整量子力学形式体系的最早工作中。Hermann Weyl 很快认识到这些关系是李代数表示的算符关系，该李代数现在称为海森堡李代数。相应的群被数学家称为海森堡群，而物理学家有时使用术语“Weyl 群”（这对数学家来说意味着别的东西）。量子粒子的状态空间，无论是自由的还是在势中运动的，都将是这个群的酉表示，其中空间平移群是一个子群。
注意，群及其表示论在量子力学中的这一特定用法，既处于标准公理的核心，又远比通常将群的意义刻画为“对称群”更为普遍。海森堡群在任何意义上都不对应于物理情境的不变群（不存在在该群下不变的状态），并且其作用量不与任何非零哈密顿算符对易。相反，它扮演着更为深刻的角色，其唯一的酉表示决定了量子力学的许多结构。
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来源版本：2025-10-20
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