13.2 海森堡群

13.2 海森堡群

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 李群 · 李括号

在${\mathfrak{h}}_3$中对矩阵取指数得到

$$\exp \left(\begin{array}{ccc}0& x& z\\ 0& 0& y\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& x& z+\frac{1}{2}xy\\ 0& 1& y\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

因此，李代数为 ${\mathfrak{h}}_3$ 的群将是对角线上为 1 的 3 乘 3 实上三角矩阵构成的群，而这个群将是海森堡群 $H_3$。不过，就我们的目的而言，最好在指数坐标 $(i.e.$ 中工作，即用指数映射到该群元素的李代数元素来标记群元素）。在这些坐标中，联系海森堡李代数 ${\mathfrak{h}}_{2d+1}$ 与海森堡李群 $H_{2d+1}$ 的指数映射就是恒等映射，并且我们将使用相同的记号

$$\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{y}\right),z\right)$$

对于李代数元素和相应的李群元素两者均成立。

矩阵指数一般满足 Baker-Campbell-Hausdorf 公式，该公式表明

$$e^A{e}^B=e^{A+B+\frac{1}{2}[A,B]+\frac{1}{12}[A,[A,B]]-\frac{1}{12}[B,[A,B]]+\dots }$$

其中高阶项都可以表示为重复对易子。这提供了一种方式表明李群结构（对于可表示为指数的群元素）由李括号决定。关于完整公式和详细证明，见[42]第5章。通过展开指数，人们可以容易地检查此公式中的前几项，但证明的困难在于，为什么所有项都能用对易子来组织，这一点完全不显然。

对于海森堡李代数的情况，由于所有多重对易子都为零，贝克-坎贝尔-豪斯多夫公式给出了 ${\mathfrak{h}}_3$ 中元素指数函数的结论

$$e^A{e}^B=e^{A+B+\frac{1}{2}[A,B]}$$

（这个Baker-Campbell-Hausdorf特殊情形的证明见[42]的5.2节）。我们可以用它显式地写出指数坐标下的群律：

定义（海森堡群，$d = 1 )

$。海森堡群$H _ { 3 }$是带有群运算的空间$\mathbf { R } ^ { 3 } = \mathbf { R } ^ { 2 } \oplus \dot { \mathbf { R } }$

$$\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{y}\right),z\right)\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x^{\prime }}{y^{\prime }}\right)z^{\prime }\right)=\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x+x^{\prime }}{y+y^{\prime }}\right),z+z^{\prime }+\frac{1}{2}(x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime })\right)\text{\hspace{1em}(13.2)}$$

${\mathbf{R}}^2\oplus \mathbf{R}$ 上带有该群法则与群的矩阵形式之间的同构由下式给出

$$\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{y}\right),z\right)\leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc}1& x& z+\frac{1}{2}xy\\ 0& 1& y\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

注意，李代数基元素 $X,Y,Z$ 各自生成 $H_3$ 的与 $R$ 同构的子群。前两个子群的元素生成整个群，而第三个子群的元素是“中心的”，即它们与所有群元素交换。还要注意，李代数（方程 13.1）或群（方程 13.2）的非交换性质完全取决于因子 $x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }$

将其推广到更高维数是：

定义（海森堡群）

海森堡群 $H_{2d+1}$ 是带有群运算的空间 ${\mathbf{R}}^{2d+1}$

$$\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathbf{x}}{\mathbf{y}}\right),z\right)\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{x}}^{\prime }}{{\mathbf{y}}^{\prime }}\right),z^{\prime }\right)=\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathbf{x}+{\mathbf{x}}^{\prime }}{\mathbf{y}+{\mathbf{y}}^{\prime }}\right),z+z^{\prime }+\frac{1}{2}(\mathbf{x}\cdot {\mathbf{y}}^{\prime }-\mathbf{y}\cdot {\mathbf{x}}^{\prime })\right)$$

其中 $\mathbf{x},{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{y},{\mathbf{y}}^{\prime }\in {\mathbf{R}}^d$

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