13.3 薛定谔表示

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由于可以用 3 乘 3 矩阵来定义，海森堡群 $H_{3}$ 在 $C^{3}$ 上有一个显然的表示，但这个表示不是酉的，也没有物理意义。真正令人感兴趣的是在 $q$ 的函数上的无限维表示，其李代数版本由 $Q, P,$ 和单位算符给出：

定义（薛定谔表示，李代数版本）

海森堡李代数 $h_{3}$ 的薛定谔表示是满足以下条件的表示 $(Γ_{S}^{'}, L^{2} (R))$ ：
$Γ_{S}^{'} (X) ψ (q) Γ_{S}^{'} (Z) ψ (q) = - i Q ψ (q) = - i q ψ (q), Γ_{S}^{'} (Y) ψ (q) = - i P ψ (q) = - \frac{d}{d q} ψ (q) = - i ψ (q)$

已选择 $i$ 的因子，使这些算符为斜伴随的，从而使表示是酉的。它们可以取指数，在方程 13.2 的 $H_{3}$ 上的指数坐标中给出

Γ_{S} (((0 x), 0)) ψ (q) Γ_{S} (((y 0), 0)) ψ (q) Γ_{S} (((0 0), z)) ψ (q) = e^{- x i Q} ψ (q) = e^{- i x q} ψ (q) = e^{- y i P} ψ (q) = e^{- y \frac{d}{d q}} ψ (q) = ψ (q - y) = e^{- i z} ψ (q)

对于 $H_{3}$ 的一般群元素，有：

定义（薛定谔表示，李群版本）

海森堡李群 $H_{3}$ 的薛定谔表示是满足以下条件的表示 $(Γ_{S}, L^{2} (R))$ 1

$Γ_{S} (((y x), z)) ψ (q) = e^{- i z} e^{i \frac{x y}{2}} e^{- i x q} ψ (q - y) (13.3)$

为了验证这定义了一个表示，需要计算

Γ_{S} (((y x), z)) Γ_{S} (((y ^{'} x ^{'}), z^{'})) ψ (q) = Γ_{S} (((y x), z)) e^{- i z^{'}} e^{i \frac{x ^{'} y ^{'}}{2}} e^{- i x^{'} q} ψ (q - y^{'}) = e^{- i (z + z^{'})} e^{i \frac{x y + x ^{'} y ^{'}}{2}} e^{- i x q} e^{- i x^{'} (q - y)} ψ (q - y - y^{'}) = e^{- i (z + z^{'} + \frac{1}{2} (x y^{'} - y x^{'}))} e^{i \frac{( x + x ^{'} ) ( y + y ^{'} )}{2}} e^{- i (x + x^{'}) q} ψ (q - (y + y^{'})) = Γ_{S} (((y + y ^{'} x + x ^{'}), z + z^{'} + \frac{1}{2} (x y^{'} - y x^{'}))) ψ (q)

海森堡对易关系的群类比（常称为对易关系的“外尔形式”）是关系

e^{- i x Q} e^{- i y P} = e^{- i x y} e^{- i y P} e^{- i x Q}

这可以通过使用方程 13.3 中的显式表示算符（或 Baker-Campbell-Hausdorf 公式和海森堡对易关系）来计算得出

e^{- i x Q} e^{- i y P} = e^{- i (x Q + y P) + \frac{1}{2} [- i x Q, - i y P]} = e^{- i \frac{x y}{2}} e^{- i (x Q + y P)}

以及按相反顺序得到的同一乘积，然后比较结果。

注意，对于薛定谔表示，我们有

Γ_{S} (((0 0), z + 2 π)) = Γ_{S} (((0 0), z))

因此，表示算符在 $z$ 坐标中具有周期 2 $π$ 的周期性。有些作者选择将海森堡群 $H_{3}$ 定义为 $R^{2} \times S^{1}$ 而非 $R^{2} \oplus R$ ，从而将这种周期性自动纳入群的定义中，而不是表示中。

我们已经看到，傅里叶变换 $F$ 将薛定谔表示变为 $H_{3}$ 的一个酉等价表示，其以 $p$ 的函数表述（即动量空间表示）。该等价由一个变换给出

Γ_{S} (g) \to Γ_{S} (g) = F Γ_{S} (g) F

在表示算符中，根据普朗歇尔定理（方程11.5确保 $F$ 和 $F = F^{- 1}$ 是酉算符。

在典型的物理学量子力学教科书中，人们常常看到仅使用海森堡对易关系进行的计算，而不选取满足这些关系的算符的具体表示。事实证明，这是合理的，因为对于海森堡群而言，一旦选定 $Z$ 作用所乘的常数，所有不可约表示都酉等价。由酉性，该常数为 $- i c, c \in R$ 。我们已选择 $c = 1$ 2，但 $c$ 的其他值将对应于不同的单位选择。

在某种意义上，海森堡群的表示论非常简单：只有一个不可约表示。这与即使是最简单的紧李群 $(U (1)$ 和 $S U (2))$ ）的理论非常不同，后者有无穷多个不等价的不可约表示，由权或自旋标记。海森堡群的表示会以不同的形式出现（我们已经见过两种，在讨论谐振子时会见到另一种，还有出现在theta函数理论中的其他表示），但它们都是酉等价的，这一陈述被称为Stone-von Neumann定理。关于此材料的一些好的参考文献是[91]和[41]。关于海森堡群及其表示的数学的深入讨论可以在[51]、[26]和[95]中找到。

在这些参考文献中可以找到（并不困难的）

定理

上文所述的薛定谔表示 $Γ_{S}$ 是不可约的。

以及更为困难得多的

定理（斯通-冯·诺依曼）

群 $H_{3}$ 在希尔伯特空间上的任意不可约表示 $π$ ，若满足
$π^{'} (Z) = - i 1$

酉等价于薛定谔表示 $(Γ_{S}, L^{2} (R))$ 。

注意，所有这些都可以容易地推广到 $d$ 个空间维数、 $d$ 有限的情形，此时 Heisenberg 群为 $H_{2 d + 1}$ ，而 Stone-von Neumann 定理仍然成立。在无穷多个自由度的情况下，即量子场论中令人关注的情形，Stone-von Neumann 定理不再成立，并且人们有无穷多个不等价的不可约表示，导致相当不同的现象。关于此主题的更多内容，见第 39 章。

同样重要的是要注意，Stone-von Neumann 定理是针对 Heisenberg 群表示而非 Heisenberg 李代数表示表述的。对于此类情形中的无限维表示，存在李代数的“不可积”表示：它们不是李群表示的导数。对于 Heisenberg 李代数的这种不可积表示（即满足 Heisenberg 对易关系的算符），存在与 Stone von-Neumann 定理类似结论相反的反例。只有当表示可积时，该定理才成立，并且人们有唯一一种不可约表示。

来源与版本

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原书 PDF · 印刷页 156、157、158、159、160、161、162

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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