13.1 海森堡李代数

13.1 海森堡李代数

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 李代数 · 李括号

在位置表示或动量表示中，算符$P_j$和$Q_j$均满足关系

$$[Q_j,P_k]=i{\delta }_{jk}1$$

不久之后，这一对易关系出现在量子力学的早期工作中，外尔意识到它可以被解释为从 a $2d+1$ 维李代数——现称为海森堡李代数——的一个表示所得到的算符之间的关系。首先处理 $d=1$ 情形，我们定义：

定义（海森堡李代数，$d = 1 )

$。海森堡李代数${ \mathfrak { h } } _ { 3 }$是向量空间$\mathbf { R } ^ { 3 }$，其李括号由它在基$( X , Y , Z )b y$上的值定义

$$[X,Y]=Z,[X,Z]=[Y,Z]=0$$

将 ${\mathfrak{h}}_3$ 的一般元素按此基写为 $xX+yY+zZ.$，并把 $x,y$ 坐标归并在一起（我们将看到，把向量空间 ${\mathfrak{h}}_3$ 视为 ${\mathbf{R}}^2\oplus \mathbf{R})$ 是有用的），则李括号按坐标由下式给出

$$\left[\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{y}\right),z\right),\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x^{\prime }}{y^{\prime }}\right),z^{\prime }\right)\right]=\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0}\right),x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }\right)$$

注意，这是一个非平凡李代数，但仅是最低限度地非平凡。$Z$ 与任何其他元素的李括号均为零。李括号的李括号也均为零（因此，这是所谓的 a“幂零”李代数的一个例子）。

海森堡李代数通过以下同构，同构于 3 乘 3 严格上三角实矩阵的李代数，其李括号为矩阵对易子：

$$X\leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),Y\leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right),Z\leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$ $$\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{y}\right),z\right)\leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc}0& x& z\\ 0& 0& y\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

并且有

$$\left[\left(\begin{array}{ccc}0& x& z\\ 0& 0& y\\ 0& 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& x^{\prime }& z^{\prime }\\ 0& 0& y^{\prime }\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\right]=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& x{y}^{\prime }-x^{\prime }y\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

将其推广到更高维数是：

定义（海森堡李代数）

海森堡李代数 ${\mathfrak{h}}_{2d+1}$ 是向量空间 ${\tilde{\mathbf{R}}}^{2d+1}={\tilde{\mathbf{R}}}^{2d}\oplus$ $R$，其李括号由它在基 $X_j,Y_j,Z(j=1,\dots d)$ 上的值定义为

$$[X_j,Y_k]={\delta }_{jk}Z,[X_j,Z]=[Y_j,Z]=0$$

将一般元素写为 $\begin{array}{r}{\sum }_{j=1}^d{x}_j{X}_j+{\sum }_{k=1}^d{y}_k{Y}_k+zZ\end{array}$，则用坐标表示的李括号为

$$\left[\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathbf{x}}{\mathbf{y}}\right),z\right),\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{x}}^{\prime }}{{\mathbf{y}}^{\prime }}\right),z\right)\right]=\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0}\right),\mathbf{x}\cdot {\mathbf{y}}^{\prime }-\mathbf{y}\cdot {\mathbf{x}}^{\prime }\right)\text{\hspace{1em}(13.1)}$$

对于任意 $d$，该李代数都可以写成矩阵的李代数。例如，在 $d=3$ 的物理情形中，海森堡李代数的元素可以写成

$$\left(\begin{array}{ccccc}0& x_1& x_2& x_3& z\\ 0& 0& 0& 0& y_1\\ 0& 0& 0& 0& y_2\\ 0& 0& 0& 0& y_3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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机翻模型：deepseek-v4.1-flash