15 哈密顿向量场与矩映射

哈密顿力学的一个基本特征是，对于相空间 $M$ 上的任意函数 $f$ ，相空间中存在求解哈密顿方程的参数曲线

\overset{q}{˙}_{j} = \frac{\partial f}{\partial p _{j}} \overset{p}{˙}_{j} = - \frac{\partial f}{\partial q _{j}}

而这些参数曲线的切向量在相空间上给出一个向量场。这样的向量场称为哈密顿向量场。存在一个特殊的 $f,$ 选择，即哈密顿函数 $h,$ ，它给出相空间中时间演化轨迹的速度向量场。

更一般地，当一个李群 $G$ 作用于相空间 $M$ 时，该群的无穷小作用将每个元素 $L \in g$ 与相空间上的一个向量场 $X_{L}$ 相联系。当这些向量场为哈密顿向量场时，存在一个相应的函数 $μ_{L}$ （至多相差一个常数）。从 $L \in g$ 到 $M$ 上的函数 $μ_{L}$ 的映射称为矩映射，此类函数在经典力学和量子力学中都起着核心作用。对于 $G = R^{3}$ 通过空间平移作用于 $M = R^{6}$ 的情形，动量的分量以这种方式出现；对于 $G = S O (3)$ 通过旋转的作用，则出现角动量。

传统物理学中关于量子力学对称性的讨论，集中于位形空间上保持拉格朗日量的群作用，并利用诺特定理给出相应的守恒量（见第35章）。在本文所述的哈密顿形式中，这些相同的守恒量表现为矩映射函数。这些算符量子化提供了量子可观测量，并（在相差一个常数的未定性问题模去后）给出 $G$ 在状态空间 $H$ 上的一个酉表示。使用矩映射函数而非由拉格朗日量导出的守恒量，使人们能够处理 $G$ 不作用于位形空间、而作用于相空间并混合位置与动量坐标的情形。它也适用于群作用不是 a “对称性”（即不与时间演化对易）的情形，此时函数 $μ_{L}$ 与哈密顿函数具有非零的泊松括号。

本章目录

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 171、172、173、174、175、176、177、178、179、180、181、182、183、184

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：c4bd5d0938766c14d748148c06d1d3db5fdb93a4163ce17a632b1b7c023ee003

译稿产物 SHA-256：b40509e8226d7c87b3556af11cfccd1c2b285b712493c0b47d0116e188ff7181

机翻模型：deepseek-v4.1-flash

数学物理阅读

书架

15 哈密顿向量场与矩映射

15 哈密顿向量场与矩映射

本章目录

关系图谱

目录