15.5 李代数的对偶与辛几何

15.5 李代数的对偶与辛几何

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 对偶空间 · 李代数 · 伴随表示 · 群在集合上的作用 · 李括号

我们一直谨慎地跟踪相空间$M={\mathbf{R}}^{2d}$与其对偶$\mathcal{M}=M^{\ast }$之间的区别，尽管辛形式在它们之间提供了同构（见方程14.6）。这样做的原因之一是，与海森堡李代数相关的是$\mathcal{M}=M^{\ast }$，通过

$${\mathfrak{h}}_{2d+1}=\mathcal{M}\oplus \mathbf{R}$$

以 $M$ 表示相空间上的线性函数，$R$ 表示常函数，并以泊松括号作为李括号。正是这个李代数，我们希望在第十七章定义经典系统的量子化时使用。

另一个需要仔细区分$M$与$M$的理由是，它们承载着海森堡群的两种不同作用，这源于该群在其李代数上（伴随作用）与其李代数的对偶上（“余伴随”作用）的作用方式相当不同。在$M$与$M$上，这些作用变为：

• 海森堡群 $H_{2d+1}$ 通过伴随作用作用于其李代数 ${\mathfrak{h}}_{2d+1}=\mathcal{M}\oplus \mathbf{R}$，该作用的微分照常由李括号给出（见方程 5.4）。这里这意味着

$$\begin{array}{rl}ad\left(\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q}{{\mathbf{c}}_p}\right),c\right)\right)\left(\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q^{\prime }}{{\mathbf{c}}_p^{\prime }}\right),c^{\prime }\right)\right)& =\left[\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q}{{\mathbf{c}}_p}\right),c\right),\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q^{\prime }}{{\mathbf{c}}_p^{\prime }}\right),c^{\prime }\right)\right]\\ & =\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0}\right),\Omega \left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q}{{\mathbf{c}}_p}\right),\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q^{\prime }}{{\mathbf{c}}_p^{\prime }}\right)\right)\right)\end{array}$$

该作用量在子空间 $\mathcal{M},$ 上是平凡的，取

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q^{\prime }}{{\mathbf{c}}_p^{\prime }}\right)\to \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0}\right)$$

• 在这种情况下，定义“余伴随”作用的最简单方式是将其定义为 $H_{2d+1}$ 在 $M={\mathbf{R}}^{2d}$ 上的哈密顿作用，使得其矩映射 ${\mu }_L$ 恰好是将 ${\mathfrak{h}}_{2d+1}$ 与 $M$ 上的函数等同起来。对于 $d=1$ 的情形，有

$${\mu }_L=L=c_{q}q+c_{p}p+c\in {\mathfrak{h}}_3$$

和

$$X_{{\mu }_L}=-c_q\frac{\partial }{\partial p}+c_p\frac{\partial }{\partial q}$$

这就是方程15.3和15.4中描述的作用量，满足

$$q\left(\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{y}\right),z\right)\cdot m\right)=q(m)+y,p\left(\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{y}\right),z\right)\cdot m\right)=p(m)-x\text{\hspace{1em}(15.13)}$$

这里，$H_3$ 中满足 $x=z=0$ 的元素构成的子群，在位置 $q$ 上起着通常平移的作用。

一个普遍现象是：对任意李代数 $g$，都可以在 ${\mathfrak{g}}^{\ast }$ 上的函数上定义泊松括号。这是因为莱布尼茨性质保证泊松括号只依赖于 Ω，即它在线性函数上的限制，而 ${\mathfrak{g}}^{\ast }$ 上的线性函数是 $g$ 的元素。因此，${\mathfrak{g}}^{\ast }$ 上函数的泊松括号通过首先定义

$$\Omega (X,X^{\prime })=[X,X^{\prime }]\text{\hspace{1em}(15.14)}$$

对于 $X,X^{\prime }\in \mathfrak{g}=({\mathfrak{g}}^{\ast }{)}^{\ast }$ ，然后通过莱布尼茨性质将其推广到 ${\mathfrak{g}}^{\ast }$ 上的所有函数。

向量空间 ${\mathfrak{g}}^{\ast }$ 上函数之间的这种泊松括号，称为在 ${\mathfrak{g}}^{\ast }$ 上给出一个 a “泊松结构”。一般而言，它不会在 ${\mathfrak{g}}^{\ast }$ 上给出辛结构，因为它不是非退化的。例如，在海森堡李代数的情况下

$${\mathfrak{g}}^{\ast }=M\oplus \mathbf{R}$$

而Ω仅在子空间$M,$相空间上非退化，它将在此赋予一个辛结构。

题外话。${\mathfrak{g}}^{\ast }$ 上的泊松结构常常可用于在 ${\mathfrak{g}}^{\ast }$ 的子流形上得到辛结构。例如，取 $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}(3)$，此时 ${\mathfrak{g}}^{\ast }={\mathbf{R}}^3$，其反对称双线性形式 $\omega$ 由向量叉积给出。在这种情况下，结果表明，若考虑 ${\mathbf{R}}^3$ 中固定半径的球面，则 $\omega$ 给出一个与面积二形式成比例的辛形式，从而使这类球面具有辛流形的结构。

这是一般构造的一个特例。取 $g$ 上伴随表示 Ad 的对偶，则 $g\in G$ 通过表示 $A{d}^{\ast }$ 作用在 ${\mathfrak{g}}^{\ast }$ 上，满足

$$(A{d}^{\ast }(g)\cdot l)(X)=l(Ad(g^{-1})X)$$

这称为 ${\mathfrak{g}}^{\ast }$ 上的 ${}^{\omega }co-adjoin{t}^{\prime \prime }$ 作用。取一个元素 $l\in {\mathfrak{g}}^{\ast }$，伴随作用的轨道 ${\mathcal{O}}_l$ 结果是一个辛流形。它带有 $G$ 的一个保持辛结构的作用（伴随作用在 ${\mathfrak{g}}^{\ast }$ 上对轨道的限制）。在这种情况下，矩映射

$$\mu :{\mathcal{O}}_l\to {\mathfrak{g}}^{\ast }$$

就是包含映射。两个简单的例子是

• 对于 $\mathfrak{g}={\mathfrak{h}}_3,$，相空间 $M={\mathbf{R}}^2$ 与方程 $15.13$ 的海森堡群作用由一个余伴随轨道给出，其中取 $l\in {\mathfrak{h}}_3^{\ast }$ 为 $h$ 的基向量的对偶基向量，该基向量由 ${\mathbf{R}}^2$ 上的常值函数 1 给出

• 对于 $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}(3)$，非零余伴随轨道是球面，其半径为 $l$ 的长度，具有上述辛形式，并且存在 $G=$ $SO(3)$ 的作用保持该辛形式。

注意，在第二个例子中，${\mathbf{R}}^3$ 上的标准内积给出了李代数与其对偶的一个 SO(3) 不变等同，因此伴随作用与余伴随作用基本相同。在 $H_3,$ 的情形中，${\mathfrak{h}}_3,$ 上没有不变内积，所以伴随作用与余伴随作用相当不同，这解释了前文所述 $H_3$ 在 $M$ 与 $M$ 上的不同作用。

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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