15.4 哈密顿群作用的例子

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 对偶空间 · 李代数 · 群在集合上的作用

以下是一些哈密顿群作用的例子：

• 对于 $d = 3,$ ，平移群 $G = R^{3}$ 的一个元素 $a$ 通过平移作用在相空间 $M = R^{6}$ 上

m \in M \to a \cdot m \in M

使得坐标满足

q (a \cdot m) = q + a, p (a \cdot m) = p (m)

取 $a$ 为 $G = R^{3}$ 2 的李代数中的对应元素，则 $M$ 上对应于该作用（由 15.10 给出）的向量场为

X_{a} = a_{1} \frac{\partial}{\partial q _{1}} + a_{2} \frac{\partial}{\partial q _{2}} + a_{3} \frac{\partial}{\partial q _{3}}

而矩映射由下式给出

μ_{a} (m) = a \cdot p (m) (15.12)

这可以解释为对李代数的每个元素 $a$ ，在 $M$ 上的一个函数 $a$ · $p$ ，或者解释为对每个点 $m$ $\in M$ ，李代数 $R^{3}$ 的对偶中的一个元素 $p (m)$

• 再举一例，考虑旋转群 $G = S O (3)$ 在相空间 $M = R^{6}$ 上的作用，该作用由对位置向量和动量向量施行相同的 $S O (3)$ 旋转给出。这给出一个从 so(3) 到 $R^{6}$ 上向量场的映射，例如取

l_{1} \in so (3) \to X_{l_{1}} = - q_{3} \frac{\partial}{\partial q _{2}} + q_{2} \frac{\partial}{\partial q _{3}} - p_{3} \frac{\partial}{\partial p _{2}} + p_{2} \frac{\partial}{\partial p _{3}}

（这是 $q_{2} - q_{3}$ 与 $p_{2} - p_{3}$ 平面中无穷小逆时针旋转的向量场，方向与 15.2 节 qp 平面中向量场 $X_{\frac{1}{2} (q^{2} + p^{2})}$ 的情形相反）。此处的矩映射给出角动量 1-分量的通常表达式

μ_{l_{1}} = q_{2} p_{3} - q_{3} p_{2}

因为由方程15.2可以验证 $X_{l_{1}} = X_{μ_{l_{1}}}$ 。在so(3)的基元素上，有

μ_{l_{j}} (m) = (q (m) \times p (m))_{j}

表述为从 $M$ 到 $so (3)^{*}$ 的映射，矩映射是

μ (m) (l) = (q (m) \times p (m)) \cdot l

其中 $l \in so (3)$

• 虽然本章的大部分内容也适用于一般辛流形 $M$ 的情形，但在 $M$ 为向量空间的情形下具有这样的特点： $G$ 可取为 $M$ 的一个线性变换群，而矩映射将给出二次多项式。上一个例子是此情形的一个特例，更一般的线性变换将在后续章节中详细研究。在这种线性情形下，通常最好不使用 $M$ ，而使用其对偶空间 $M$ 。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 171、172、173、174、175、176、177、178、179、180、181、182、183、184

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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