15.1 向量场与指数映射

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$M = R^{2}$ 上的向量场可以看作是在 $R^{2}$ 中每一点处选择一个二维向量，因此由一个向量值函数给出

F (q, p) = (F _{p} ( q , p ) F _{q} ( q , p ))

这样的向量场确定了一个微分方程组

\frac{d q}{d t} = F_{q}, \frac{d p}{d t} = F_{p}

一旦初始条件

q (0) = q_{0}, p (0) = p_{0}

若给定了 $F_{q}$ 和 $F_{p}$ 是可微函数，则这些微分方程有唯一解 $q (t), p (t)$ ，至少对 $t = 0$ 的某个邻域如此（见例如 [48] 中的存在唯一性定理）。这些解 $q (t), p (t)$ 描述 $R^{2}$ 中以速度向量 $F (q (t), p (t))$ 运动的轨迹，而这样的轨迹可用于定义向量场的“流”：对每个 $t$ ，这是将初始点 $(q (0), p (0)) \in R^{2}$ 映到点 $(q (t), p (t)) \in R^{2}$ 的映射

在 $R^{2}$ 上定义向量场的另一种等价方式是改用沿向量场的方向导数，将

F (q, p) \leftrightarrow F (q, p) \cdot \nabla = F_{q} (q, p) \frac{\partial}{\partial q} + F_{p} (q, p) \frac{\partial}{\partial p}

$F$ 为常向量的情形正是我们先前将向量空间 $M$ 与 $\frac{\partial}{\partial q}$ 和 $\frac{\partial}{\partial p}$ 的线性组合等同起来的情形

以这种方式将向量场定义为一阶线性微分算符的一个优点是，它表明向量场构成一个李代数，其中取向量场 $X_{1}, X_{2}$ 的李括号为对易子

[X_{1}, X_{2}] = X_{1} X_{2} - X_{2} X_{1} (15.1)

微分算符的。两个一阶微分算符的对易子是另一个一阶微分算符，因为利用混合偏导数的相等性，二阶导数将相消。此外，这样的对易子将满足雅可比恒等式。

给定这个向量场的李代数，人们可以问相应的群可能是什么。这不是有限维矩阵李代数，因此矩阵的指数映射不会给出该群。向量场 $X$ 的流可用于定义参数 $t$ 乘以 $X$ 的指数映射的类似物：

定义（向量场的流与指数映射）

域 $M$ 上向量场 $X$ 的流是映射
$Φ_{X} : (t, m) \in R \times M \to Φ_{X} (t, m) \in M$
满足
$\frac{d}{d t} Φ_{X} (t, m) = X (Φ_{X} (t, m))$ $Φ_{X} (0, m) = m$

用文字表述， $Φ_{X} (t, m)$ 是 $M$ 中的轨迹，它在 $t = 0$ 时经过 $m \in M$ ，其速度向量由沿轨迹求值的向量场 $X$ 给出。

该流可以写成一个映射

exp (tX) : m \in M \to Φ_{X} (t, m) \in M

称为指数映射。

若向量场 $X$ 可微（且导数有界），则 exp(tX) 将在 $t = 0$ 的某个邻域上为定义良好的映射，并满足

exp (t_{1} X) exp (t_{2} X) = exp ((t_{1} + t_{2}) X)

从而给出一个从 $M$ 到自身的单参数映射群，其在恒等元处的导数为 $X$ 。

题外话。对任意流形 $M$ ，存在一个无限维李群，即从 $M$ 到自身的可逆映射构成的群，使得这些映射及其逆映射均可微。这个群称为 $M$ 的微分同胚群，记作 Dif( $M$ )。它的李代数是向量场李代数。

向量场的李代数通过微分作用在 $M$ 上的函数上。这是 Dif( $M$ ) 在函数上的表示的微分，该表示按通常方式（见方程 1.3）由 Dif( $M$ ) 在空间 $M$ 上的作用诱导而来。然而，这个表示与量子力学无关，因为它作用在相空间上的函数上，而量子态空间仅由相空间坐标的一半（位置或动量）上的函数给出。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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