15.2 哈密顿向量场与正则变换

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 线性映射 · 李代数 · 李括号

我们关注的不是一般的向量场，而是对应于某个哈密顿算子 $f, e.g.$ 的哈密顿方程的情形

F_{q} = \frac{\partial f}{\partial p}, F_{p} = - \frac{\partial f}{\partial q}

我们称这样的向量场为哈密顿向量场，定义：

定义（哈密顿向量场）

一个在 $M = R^{2}$ 上由下式给出的向量场
$\frac{\partial f}{\partial p} \frac{\partial}{\partial q} - \frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial}{\partial p} = - {f, \cdot}$

在 $M = R^{2}$ 上的某个函数 $f$ 称为哈密顿向量场，并将记作 $X_{f}$ 。在更高维数中，哈密顿向量场将是具有以下形式的向量场

X_{f} = j = 1 \sum d (\frac{\partial f}{\partial p _{j}} \frac{\partial}{\partial q _{j}} - \frac{\partial f}{\partial q _{j}} \frac{\partial}{\partial p _{j}}) = - {f, \cdot} (15.2)

对于 $M = R^{2 d}$ 上的某个函数 $f$

最简单的非零哈密顿向量场是 $f a$ 线性函数对应的那些。对于 $c_{q}, c_{p}$ 常数，如果

f = c_{q} q + c_{p} p

那么

X_{f} = c_{p} \frac{\partial}{\partial q} - c_{q} \frac{\partial}{\partial p}

以及该映射

f \to X_{f}

是 $M$ 与 $M$ 在方程14.6下的同构。

例如，取 $f = p$ ，我们有 $X_{p} = \frac{\partial}{\partial q}$ 。该向量场的指数映射满足

q (exp (t X_{p}) (m)) = q (m) + t, p (exp (t X_{p}) (m)) = p (m) (15.3)

类似地，对于 $f = q$ ，有 $X_{q} = - \frac{\partial}{\partial p}$ ，并且

q (exp (t X_{q}) (m)) = q (m), p (exp (t X_{q}) (m)) = p (m) - t (15.4)

二次函数 $f$ 给出向量场 $X_{f}$ ，其分量关于坐标是线性的。一个重要例子是二次函数的情形

h = \frac{1}{2} (q^{2} + p^{2})

这是谐振子的哈密顿函数，这一系统将从第22章开始得到更为详细的讨论。该函数的哈密顿向量场为2

X_{h} = p \frac{\partial}{\partial q} - q \frac{\partial}{\partial p}

轨迹满足

\frac{d q}{d t} = p, \frac{d p}{d t} = - q

并且由下式给出

q (t) = q (0) cos t + p (0) sin t, p (t) = p (0) cos t - q (0) sin t

指数映射由顺时针旋转角度 $t$ 给出

q (exp (t X_{h}) (m)) p (exp (t X_{h}) (m)) = q (m) cos t + p (m) sin t = - q (m) sin t + p (m) cos t

向量场 $X_{h}$ 以及qp平面中的轨迹如下所示

图 15.1：简单谐振子的哈密顿向量场。

并描述相空间中的周期运动。

向量场与泊松括号的关系由下式给出（见方程15.2）

{f_{1}, f_{2}} = X_{f_{2}} (f_{1}) = - X_{f_{1}} (f_{2})

特别是

{q, f} = \frac{\partial f}{\partial p}, {p, f} = - \frac{\partial f}{\partial q}

我们在此给出的 $X_{f}$ 的定义（方程 15.2）附带了一种处理令人困惑的符号问题的选择。回忆一下， $M$ 上的向量场构成一个李代数，其李括号为微分算符的对易子。一个自然的问题是，这个李代数与 $M$ 上函数的李代数（其李括号为泊松括号）有何关系。

雅可比恒等式意味着

{f, {f_{1}, f_{2}}} = {{f, f_{1}}, f_{2}} + {{f_{2}, f}, f_{1}} = {{f, f_{1}}, f_{2}} - {{f, f_{2}}, f_{1}}

因此

X_{{f_{1}, f_{2}}} = X_{f_{2}} X_{f_{1}} - X_{f_{1}} X_{f_{2}} = - [X_{f_{1}}, X_{f_{2}}] (15.5)

这表明，我们在这些李代数之间定义的方程 15.2 的映射 $f X_{f}$ 并不完全是李代数同态，因为方程 15.5 中有一个负号（它被称为李代数“反同态”）。而作为李代数同态的映射是

f \to - X_{f} (15.6)

为了在这里跟踪负号，需要分清

• 相空间 $M$ 上的函数构成一个李代数，其中函数 $f$ 通过伴随作用作用于函数空间

a d (f) (\cdot) = {f, \cdot}

和

• 函数 $f$ 给出向量场 $X_{f}$ ，其作用于 $M$ 上的函数，其中

X_{f} (\cdot) = {\cdot, f} = - {f, \cdot}

作为一个简单的例子，函数 $p$ 满足

{p, F (q, p)} = - \frac{\partial F}{\partial q}

因此

{p, \cdot} = - \frac{\partial ( \cdot )}{\partial q} = - X_{p}

注意，以这种方式用 $p$ 作用于函数，是平移群在函数上的表示的 Lie 代数版本，该表示由位置上的平移作用诱导而来（见方程 10.1 和 10.2）。

重要的是要注意，从函数到向量场的李代数同态15.6不是同构，原因有两个：

• 它不是单射（一一对应），因为对于任意常数 $C$ ，函数 $f$ 和 $f + C$ 都对应于同一个 $X_{f}$

• 它不是满射，因为并非所有向量场都是哈密顿向量场 $(i.e.$ ，即对于某个 $f)$ 具有 $X_{f}$ 的形式。一个向量场 $X$ 为了可能成为哈密顿向量场所必须满足的一个性质是

X {g_{1}, g_{2}} = {X g_{1}, g_{2}} + {g_{1}, X g_{2}} (15.7)

对于 $g_{1}$ 和 $g_{2}$ 在 $M$ 上。当 $X = X_{f}$ 时，这是 $f, g_{1}, g_{2}$ 的雅可比恒等式

题外话。对于一般的辛流形 $M,$ ，辛二形式 $ω$ 给出了哈密顿方程的一个类似物。这就是下述一形式的等式，它将哈密顿函数 $h$ 与决定 $M$ 中轨迹时间演化的向量场 $X_{h}$ 联系起来

i_{X_{h}} ω = ω (X_{h}, \cdot) = d h

（此处 $i_{X}$ 是与向量场 $X)$ 的内积运算。在此语境下，泊松括号可定义为

{f_{1}, f_{2}} = ω (X_{f_{1}}, X_{f_{2}})

回忆一下，辛二形式定义为闭的，满足方程 $d ω = 0,$ ，这于是成为对三形式 $d ω$ 的一个条件。标准的微分形式计算允许将 $d ω$ $\cdot (X_{f_{1}}, X_{f_{2}}, X_{f_{3}})$ 用函数 $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ 的泊松括号表示，并且可以发现 $d ω = 0$ 正是泊松括号的雅可比恒等式。

“预量子化”理论（见 $[52], [41])$ ）将相空间 $M$ 扩大为带联络的a $U (1)$ 丛，其中联络的曲率是辛形式 $ω$ 。于是李代数同态缺乏单射性的问题

f \to - X_{f}

通过改用映射来解决

f \to - \nabla_{X_{f}} + i f (15.8)

其中 $\nabla_{X}$ 是关于该联络的协变导数。有关此内容的细节，参见 $[52] or [41]$

在我们处理相空间 $M .$ 上的函数时，一直将这类函数视为时间无关的。 $M$ 可看作一个经典力学系统的轨迹空间，其中坐标 $q, p$ 具有轨迹的初始条件 $q (0), p (0)$ 的解释。指数映射 exp $(t X_{h})$ 给出哈密顿算子 $h,$ 在轨迹空间上的一个作用，把初始条件由 $n \in M$ 给出的轨迹变为初始条件由 $exp (t X_{h}) (m)$ 给出的时间平移轨迹。人们实际上应当这样解释哈密顿方程组的公式

\frac{df}{d t} = {f, h}

作为含义

\frac{d}{d t} f (exp (t X_{h}) (m)) ∣_{t = 0} = {f (m), h (m)}

对于每个 $m \in M$

给定一个哈密顿向量场 $X_{f}$ ，映射

exp (t X_{f}) : M \to M

物理学家称之为“正则变换”，而数学家称之为“辛同胚”。我们不会尝试更详细地研究指数映射在一般情形下的行为。在第16章中，我们将看到当 $f$ 是 $q_{j}, p_{j}$ 的二次齐次多项式时会发生什么。在这种情况下，向量场 $X_{f}$ 将把 $M$ 上的线性函数变为线性函数，从而作用在 $M .$ 上，此时其行为可以利用线性变换关于基元素 $q_{j}, p_{j}$ 的矩阵来研究。

题外话。指数映射 exp(tX) 可以如上在一般流形上定义。对于辛流形 $M$ ，哈密顿向量场 $X_{f}$ 将具有保持辛形式的性质，其意义是

exp (t X_{f})^{*} ω = ω

这是因为

L_{X_{f}} ω = (d i_{X_{f}} + i_{X_{f}} d) ω = d i_{X_{f}} ω = d ω (X_{f}, \cdot) = ddf = 0 (15.9)

其中 $L_{X_{f}}$ 是沿 $X_{f}$ 的李导数

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 171、172、173、174、175、176、177、178、179、180、181、182、183、184

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：c4bd5d0938766c14d748148c06d1d3db5fdb93a4163ce17a632b1b7c023ee003

译稿产物 SHA-256：b40509e8226d7c87b3556af11cfccd1c2b285b712493c0b47d0116e188ff7181

机翻模型：deepseek-v4.1-flash

数学物理阅读

书架

15.2 哈密顿向量场与正则变换

15.2 哈密顿向量场与正则变换

关系图谱