16.3 任意 d 的情形

16.3 任意 d 的情形

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 线性映射 · 李代数

对于任意 $d,$ 的一般情形，群 $Sp(2d,\mathbf{R})$ 将通过自同构作用在 $H_{2d+1}$ 和 ${\mathfrak{h}}_{2d+1}$ 上，二者均可与 $\mathcal{M}\oplus \mathbf{R}$ 等同。该群通过线性变换作用在 $\mathcal{M}$ 因子上，并保持 Ω。这一作用量的无穷小版本按 $d=1$ 情形计算为

$$L\cdot \left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q}{{\mathbf{c}}_p}\right),c\right)=\frac{d}{dt}{\left({\varphi }_{e^{tL}}\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q}{{\mathbf{c}}_p}\right),c\right)\right)}_{|t=0}=\left(L\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q}{{\mathbf{c}}_p}\right),0\right)$$

其中 $L\in \mathfrak{sp}(2d,\mathbf{R})$ 。与 $d=1$ 情形一样，该作用量是通过取二次函数与线性函数的泊松括号给出的：

定理

16.3。$\mathfrak{sp}(2d,\mathbf{R})$ 通过导子在 ${\hslash }_{2d+1}=\mathcal{M}\oplus \mathbf{R}$ 上的作用是

$$L\cdot ({\mathbf{c}}_q\cdot \mathbf{q}+{\mathbf{c}}_p\cdot \mathbf{p}+c)=\{{\mu }_L,{\mathbf{c}}_q\cdot \mathbf{q}+{\mathbf{c}}_p\cdot \mathbf{p}+c\}={\mathbf{c}}_q^{\prime }\cdot \mathbf{q}+{\mathbf{c}}_p^{\prime }\cdot \mathbf{p}\text{\hspace{1em}(16.22)}$$

其中

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q^{\prime }}{{\mathbf{c}}_p^{\prime }}\right)=L\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q}{{\mathbf{c}}_p}\right)$$

或， 等价地（见 $4.1)$ 节， 在$M$的基向量上，有

$$\left\{{\mu }_L,\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathbf{q}}{\mathbf{p}}\right)\right\}=L^T\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathbf{q}}{\mathbf{p}}\right)$$

证明。可以先对 $A,B,C$ 中只有一个非零的情形证明 16.22，然后一般情形由线性性推出。例如，取特殊情形

$$L=\left(\begin{array}{cc}0& B\\ 0& 0\end{array}\right),{\mu }_L=\frac{1}{2}\mathbf{q}\cdot B\mathbf{q}$$

作用量对坐标函数（$\mathcal{M})$ 的基向量）的作用是

$$\{\frac{1}{2}\mathbf{q}\cdot B\mathbf{q},(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathbf{q}}{\mathbf{p}})\}=L^T\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathbf{q}}{\mathbf{p}}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{B\mathbf{q}}\right)$$

因为

$$\begin{array}{rl}\{\frac{1}{2}\sum _{j,k}{q}_j{B}_{jk}{q}_k,p_l\}& =\frac{1}{2}\sum _{j,k}(q_j\{B_{jk}{q}_k,p_l\}+\{q_j{B}_{jk},p_l\}{q}_k)\\ & =\frac{1}{2}(\sum _j{q}_j{B}_{jl}+\sum _k{B}_{lk}{q}_k)\\ & =\sum _j{B}_{lj}{q}_j\text{(since B=BT)}\end{array}$$

对$A$和$C$重复此操作，一般得到

$$\left\{{\mu }_L,\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathbf{q}}{\mathbf{p}}\right)\right\}=L^T\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathbf{q}}{\mathbf{p}}\right)$$

现在我们可以如下证明定理16.2：

证明。

$$L\to {\mu }_L$$

这显然是矩阵与二次多项式之间的向量空间同构。为表明它是李代数同构，可利用泊松括号的雅可比恒等式来证明

$$\left\{{\mu }_L,\left\{{\mu }_{L^{\prime }},{\mathbf{c}}_q\cdot \mathbf{q}+{\mathbf{c}}_p\cdot \mathbf{p}\right\}\right\}-\left\{{\mu }_{L^{\prime }},\left\{{\mu }_L,{\mathbf{c}}_q\cdot \mathbf{q}+{\mathbf{c}}_p\cdot \mathbf{p}\right\}\right\}=\left\{\left\{{\mu }_L,{\mu }_{L^{\prime }}\right\},{\mathbf{c}}_q\cdot \mathbf{q}+{\mathbf{c}}_p\cdot \mathbf{p}\right\}$$

该方程的左侧是${\mathbf{c}}_q^{\prime \prime }\cdot \mathbf{q}+{\mathbf{c}}_p^{\prime \prime }\cdot \mathbf{p}.$，其中

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{c_{\mathbf{q}}^{\prime \prime }}{c_{\mathbf{p}}^{\prime \prime }}\right)=(L{L}^{\prime }-L^{\prime }L)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q}{{\mathbf{c}}_p}\right)$$

因此，右侧是由下式给出的线性映射

$$\{{\mu }_L,{\mu }_{L^{\prime }}\}={\mu }_{[L,L^{\prime }]}$$

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来源版本：2025-10-20

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