16.1 辛群

16.1 辛群

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 正交群 · 对偶表示

回忆一下，正交群可以定义为保持内积的线性变换群，而内积是一种对称双线性形式。现在我们想要研究将内积替换为决定相空间辛几何的反对称双线性形式 Ω 后所得到的正交群的类似物。我们将定义：

定义（辛群）

辛群 $Sp(2d,\mathbf{R})$ 是 $\mathcal{M}={\mathbf{R}}^{2d}$ 的线性变换 $g$ 的子群，满足

$$\Omega (g{v}_1,g{v}_2)=\Omega (v_1,v_2)$$

对于 $v_1,v_2\in \mathcal{M}$

虽然这个定义使用了对偶相空间$\mathcal{M}$和Ω，但使用$M$和$\omega ,$来作定义本会是等价的，因为这些变换保持由Ω给出的$M$与$\mathcal{M}$之间的同构（见方程14.6）。对于$\mathcal{M}$上的作用量

$$u\in \mathcal{M}\to gu\in \mathcal{M}$$

作用量在 $M$ 的元素上（这样的元素对应于 $\mathcal{M})$ 上的线性函数 $\Omega (u,\cdot )$）由下式给出

$$\Omega (u,\cdot )\in M\to g\cdot \Omega (u,\cdot )=\Omega (u,g^{-1}(\cdot ))=\Omega (gu,\cdot )\in M\text{\hspace{1em}(16.1)}$$

这里第一个等号利用了对偶表示的定义（见 4.2），以在给定 $\mathcal{M}$ 上的表示的情况下得到 $M$ 上线性函数的一个表示，第二个等号利用了 Ω 的不变性。

16.1.1 d=1 的辛群

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 线性映射 · 李代数 · 酉表示 · 不可约表示 · 群在集合上的作用

为了将辛群作为矩阵群来研究，我们将从 $d=1$ 的情形和群 $Sp(2,\mathbf{R})$ 开始。我们可以将 Ω 写成

$$\Omega \left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{c_q}{c_p}\right),\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{c_q^{\prime }}{c_p^{\prime }}\right)\right)=c_q{c}_p^{\prime }-c_p{c}_q^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}{c}_q& c_p\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{c_q^{\prime }}{c_p^{\prime }}\right)\text{\hspace{1em}(16.2)}$$

线性变换$g$的$M$将由下式给出

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{c_q}{c_p}\right)\to \left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{c_q}{c_p}\right)\text{\hspace{1em}(16.3)}$$

Ω 在此类变换下保持不变的条件是

$${\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array}\right)}^T\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(16.4)}$$

或

$$\left(\begin{array}{cc}0& \alpha \delta -\beta \gamma \\ -\alpha \delta +\beta \gamma & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$$

因此

$$det\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array}\right)=\alpha \delta -\beta \gamma =1$$

这说明我们可以有任意具有单位行列式的线性变换。换言之，我们发现 $Sp(2,\mathbf{R})=SL(2,\mathbf{R})$ 。这种与特殊线性群的同构仅对 $d=1$ 成立

现在转向李代数，对于接近单位元的群元素 $g\in GL(2,\mathbf{R})$ ， $g$ 可以写成 $g=e^{tL}$ 的形式，其中 $L$ 属于李代数 $\mathfrak{gl}(2,\mathbf{R})$ 。 $g$ 作用在 $\mathcal{M}$ 上并保持 Ω 的条件意味着（对 16.4 求导）

$$\frac{d}{dt}\left((e^{tL}{)}^T\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)e^{tL}\right)=(e^{tL}{)}^T\left(L^T\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)L\right)e^{tL}=0$$

令 $t=0$，则关于 $L$ 的条件是

$$L^T\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)L=0\text{\hspace{1em}(16.5)}$$

这要求 $L$ 必须具有以下形式

$$L=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& -a\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(16.6)}$$

这正是人们所预期的：$L$ 属于由迹为零的 2 乘 2 实矩阵构成的李代数 sl(2, $R$)。

$p$ 与 $q$ 的二次齐次多项式构成相空间上函数李代数的一个三维子李代数，因为在基 $\frac{q^2}{2},\frac{p^2}{2},qp$ 上的非零泊松括号关系为

$$\{\frac{q^2}{2},\frac{p^2}{2}\}=qp\{qp,p^2\}=2p^2\{qp,q^2\}=-2q^2$$

我们有

定理

16.1。$M={\mathbf{R}}^2$ 上二次齐次多项式构成的李代数同构于李代数 sp $(2,\mathbf{R})=\mathfrak{sl}(2,\mathbf{R})$，其同构由下式明确给出

$$-aqp+\frac{b{q}^2}{2}-\frac{c{p}^2}{2}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}q& p\end{array}\right)L\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{q}{p}\right)\leftrightarrow L=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& -a\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(16.7)}$$

证明

可以如下识别基元素：

$$\frac{q^2}{2}\leftrightarrow E=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)-\frac{p^2}{2}\leftrightarrow F=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)-qp\leftrightarrow G=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(16.8)}$$

这些矩阵之间的对易关系是

$$[E,F]=G[G,E]=2E[G,F]=-2F$$

它们与相应的二次多项式之间的泊松括号关系相同。□

方程 16.3 中 $SL(2,\mathbf{R})$ 在 $\mathcal{M}={\mathbf{R}}^2$ 上的作用所对应的矩映射由下式给出

$${\mu }_L=-aqp+\frac{b{q}^2}{2}-\frac{c{p}^2}{2}\text{\hspace{1em}(16.9)}$$

为验证这一点，首先利用泊松括号的定义进行计算

$$-X_{{\mu }_L}F(q,p)=\{{\mu }_L,F\}=(bq-ap)\frac{\partial F}{\partial p}+(aq+cp)\frac{\partial F}{\partial q}$$

元素$e^{tL}\in SL(2,\mathbf{R})$通过以下方式作用于$M$上的函数

$$e^{tL}\cdot F(q(m),p(m))=F(q(e^{-tL}\cdot m),p(e^{-tL}\cdot m))$$

其中（对于写成列向量的 $m\in M$）$e^{-tL}\cdot m$ 是乘以矩阵 $e^{-tL}$。在写成列向量的线性函数 $l\in \mathcal{M}$ 上，同一个群作用将 $l$ 变为 $e^{tL}l$，并对 $\mathcal{M}$ 的基向量 $q,p$ 作用为

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{q}{p}\right)\to (e^{tL}{)}^T(\genfrac{}{}{0ex}{}{q}{p})$$

向量场$X_L$则由下式给出

$$\begin{array}{rl}-X_{L}F(q,p)& =\frac{d}{dt}F((q(e^{-tL}\cdot m),p(e^{-tL}\cdot m){)}_{t=0}\\ & =\left(\frac{\partial F}{\partial q},\frac{\partial F}{\partial p}\right)\cdot \frac{d}{dt}(e^{tL}{)}^T{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{q}{p}\right)}_{t=0}\\ & =\left(\frac{\partial F}{\partial q},\frac{\partial F}{\partial p}\right)\cdot L^T\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{q}{p}\right)\\ & =\left(\frac{\partial F}{\partial q},\frac{\partial F}{\partial p}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{aq+cp}{bq-ap}\right)\end{array}$$

并且可以看到 $X_L=X_{{\mu }_L}$ 符合要求。定理中的同构就是如下陈述：${\mu }_L$ 具有刻画矩映射的李代数同态性质：

$$\{{\mu }_L,{\mu }_{L^{\prime }}\}={\mu }_{[L,L^{\prime }]}$$

$SL(2,\mathbf{R})$的两个重要子群是

• 通过对$G$取指数得到的子群，它同构于正实数的乘法群

$$e^{tG}=\left(\begin{array}{cc}{e}^t& 0\\ 0& e^{-t}\end{array}\right)$$

这里可以明确看出，这个群具有趋于无穷远的元素。

• 将李代数元素 $E-F$ 指数化，得到平面的旋转

$$e^{\theta (E-F)}=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

注意，此处被指数化的李代数元素是

$$E-F\leftrightarrow \frac{1}{2}(p^2+q^2)$$

在第15.2节中研究的函数，我们稍后将在第22章中作为谐振子的哈密顿函数再次遇到它。

群 $SL(2,\mathbf{R})$ 是非紧的，其表示论与 $SU(2)$ 的情形颇为不同。特别地，它的所有非平凡不可约酉表示都是无限维的，这构成了数学中的一个重要课题，但超出了我们的范围。我们将只研究这样一个不可约表示（即由量子力学态空间所提供的那个），而且它只是 $SL(2,\mathbf{R})$ 的一个双重覆盖的表示，而不是 $SL(2,\mathbf{R})$ 本身的表示。

16.1.2 任意 d 的辛群

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对于一般的 $d$，辛群 $Sp(2d,\mathbf{R})$ 是 $M$ 的线性变换 $g$ 构成的群，这些变换保持 Ω（见 14.4）不变，即满足

$$\Omega \left(g\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q}{{\mathbf{c}}_p}\right),g\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q^{\prime }}{{\mathbf{c}}_p^{\prime }}\right)\right)=\Omega \left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q}{{\mathbf{c}}_p}\right),\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{c}}_q^{\prime }}{{\mathbf{c}}_p^{\prime }}\right)\right)$$

其中${\mathbf{c}}_q,{\mathbf{c}}_p$是$d$维向量。通过与$d=1$情形本质相同的计算，我们得到方程16.4的$d$维推广。这表明$Sp(2d,\mathbf{R})$是满足下式的实2d乘2d矩阵$g$构成的群

$$g^T\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)g=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(16.10)}$$

其中 0 是 $d$ 乘 $d$ 的零矩阵，1 是 $d$ 乘 $d$ 的单位矩阵。

再次通过与$d=1$情形类似的论证，其中李代数sp(2, $R$)由条件16.5确定，sp $(2d,\mathbf{R})$是满足条件的2d乘2d矩阵$L$的李代数

$$L^T\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)L=0\text{\hspace{1em}(16.11)}$$

这样的矩阵将具有块对角形式

$$L=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& -A^T\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(16.12)}$$

其中 $A,B,C$ 是 $d$ 乘 $d$ 的实矩阵，且 $B$ 与 $C$ 对称，即

$$B=B^T,C=C^T$$

注意，将分块反对称矩阵替换为单位矩阵，在 16.10 中即可恢复正交矩阵的定义，在 16.11 中即可恢复正交群李代数的定义。

16.7的推广是

定理

16.2。李代数 sp $(2d,\mathbf{R})$ 同构于 $M={\mathbf{R}}^{2d}$ 上二阶齐次多项式构成的李代数，其同构由（对系数函数 $q_1,\cdot \cdot \cdot ,q_d,p_1,\cdot \cdot \cdot ,p_d)$ 采用向量记号）给出

$$L\leftrightarrow {\mu }_L$$

其中

$$\begin{array}{rl}{\mu }_L& =\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}\mathbf{q}& \mathbf{p}\end{array}\right)L\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathbf{q}}{\mathbf{p}}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}\mathbf{q}& \mathbf{p}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}B& -A\\ -A^T& -C\end{array}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathbf{q}}{\mathbf{p}}\right)\\ & =\frac{1}{2}(\mathbf{q}\cdot B\mathbf{q}-2\mathbf{q}\cdot A\mathbf{p}-\mathbf{p}\cdot C\mathbf{p})\end{array}\text{\hspace{1em}(16.13)}$$

我们将把该定理的证明推迟到 16.2 节，因为先研究二阶与一阶多项式之间的泊松括号，再用此来证明关于二阶多项式之间泊松括号的定理会更容易。如同在 $d=1$ 中那样，函数 ${\mu }_L$ 是 $L.$ 的矩映射函数。

李代数 $\mathfrak{sp}(2d,\mathbf{R})$ 有一个子代数 $\mathfrak{gl}(d,\mathbf{R})$，由如下形式的矩阵组成

$$L=\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& -A^T\end{array}\right)$$

${}_{\mathrm{or}},$ 就二次函数而言，这些函数

$$-\mathbf{q}\cdot A\mathbf{p}=-\mathbf{p}\cdot A^T\mathbf{q}\text{\hspace{1em}(16.14)}$$

其中 $A$ 是任意实 $d$ 乘 $d$ 矩阵。这表明，得到辛变换的一种方式是取位置坐标的任意线性变换，连同动量坐标上的对偶线性变换（见定义 4.2）。这样，任何作用于位置空间的线性群都给出相空间的辛变换的一个子群。

一个例子是空间旋转群 $SO(d)$，其李代数为 so $(d)\subset \mathfrak{gl}(d,\mathbf{R})$，即由 $d$ 阶反对称 $d$ 矩阵组成，对此有 $-A^T=A$。特殊情形 $d=3$ 是先前在第 $15.4,$ 节中已经处理过的一个例子，其中 ${\mu }_L$ 给出了角动量作为相空间上 $q_j,p_j$ 坐标的函数的标准表达式。

另一个重要的特殊情形来自在方程16.12中取$A=0,B=1,C=-1$，由方程16.13可得

$${\mu }_L=\frac{1}{2}(|\mathbf{q}{|}^2+|\mathbf{p}{|}^2)$$

这推广了前面描述的 $d=1$ 的情形，并将成为 a 维谐振子的哈密顿函数，其中维数为 $d$。注意，对 $L$ 取指数会给出相空间上的一个辛作用，它混合位置与动量坐标，因此这是一个不能仅用位形空间上的群作用来理解的例子。

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