17.5 更一般的量子化概念
概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 对偶空间 · 李代数 · 伴随表示 · 不可约表示
这里给出的使用 的薛定谔表示进行量子化的定义，仅允许在 的线性情形下基于经典相空间构造量子系统。对于其他类型的经典系统，需要其他方法来得到相应的量子系统。一种可能的方法是路径积分方法，它从选择位形空间和拉格朗日量开始，并将在第 35 章讨论。
题外话。“几何量子化”这一名称指的是将量子化推广到任意辛流形的情形这一尝试，其出发点是预量子化的思想（见方程15.8）。这给出了上函数构成的李代数在空间上的一个表示，该空间由带联络∇的线丛的截面组成，其中∇是曲率为的联络，而是上的辛形式。随后必须处理两个问题：
• 所有定义在 上的函数构成的空间实在太大，在 = 的情形下，会允许状态同时在位置变量和坐标变量中局域化。需要某种方法把这个空间缩减到类似仅依赖于一半变量的函数空间（例如，仅依赖于位置，或仅依赖于动量）。这就要求找到一种恰当的所谓“极化”的选择来实现这一点。
• 为了在状态空间上得到内积，需要引入一个由 a 某个线丛的“平方根”所给出的扭转，这被称为“metaplectic 修正”。
更多细节可参见例如 [41] 或 [104]。
几何量子化着眼于寻找合适的状态空间。另一种一般方法，即“形变量子化”方法，则着眼于算符代数，其量子化通过寻找一个合适的非交换代数来实现，该代数在某种意义上是一个函数交换代数的形变。在乘积律中，形变到一阶由泊松括号决定。
从任意李代数 出发，原则上可用 15.14 在 上的函数上得到泊松括号，然后可以取它的量子化作为被称为泛包络代数 的算符代数。这通常会有许多不同的不可约表示以及相应的可能量子态空间。余伴随轨道哲学假定 中在伴随表示的对偶下的轨道（它们是辛流形）与不可约表示之间存在近似匹配。几何量子化提供了一种可能的方法，试图将表示与轨道联系起来。更多细节见 [51]。
没有任何一种通用的量子化方法是完全令人满意的，每种方法在某些情况下都会遇到问题，或者无法提供具备人们所期望的全部性质的构造。
来源与版本
正文：中文 · 机器译稿 · 待校对
核对状态：机器译稿 · 待校对
原书 PDF · 印刷页 197、198、199、200、201、202、203
来源版本：2025-10-20
来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837
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