17.4 量子化与对称性

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因此，薛定谔表示是一个李代数表示，它提供对应于李代数 $h_{2 d + 1}$ 的元素的观测量（ $Q_{j}$ 和 $P_{k})$ 的线性组合，以及 $sp (2 d, R)$ 的线性组合，后者是 $Q_{j}$ 和 $P_{k})$ 的二次组合的线性组合）。与哈密顿算子 $H$ 对易的观测量将构成量子系统对称性的李代数，并将能量本征态变为相同能量的能量本征态。对于 $d = 3$ 的物理情形，一些例子是：

• 坐标空间中的平移群 $R^{3}$ 是海森堡群的一个子群，并具有作为算符 $- i P_{j}$ 的线性组合的李代数表示。如果哈密顿算子与位置无关，例如自由粒子的情形

H = \frac{1}{2 m} (P_{1}^{2} + P_{2}^{2} + P_{3}^{2})

那么动量算符对应于对称性。注意，位置算符 $Q_{j}$ 与该哈密顿算子不对易，因此并不对应于动力学的对称性。

• 空间旋转群 SO(3) 是 $S p (6, R)$ 的一个子群，其中 $(3) \subset sp (6, R)$ 由方程 16.14 中的二次多项式给出，此时 $A$ 是一个反对称矩阵。量子化后，算符

- i (Q_{2} P_{3} - Q_{3} P_{2}), - i (Q_{3} P_{1} - Q_{1} P_{3}), - i (Q_{1} P_{2} - Q_{2} P_{1})

为so(3)的李代数表示提供一组基。这一现象将在第19.2章中详细研究，在那里我们将发现，对于位置空间波函数上的薛定谔表示，这些正是在第8章中以 $ρ^{'} (l_{j})$ 之名研究过的相同算符。它们将是旋转不变哈密顿算子的对称性，例如如上所述的自由粒子，或处于势场中的粒子。

H = \frac{1}{2 m} (P_{1}^{2} + P_{2}^{2} + P_{3}^{2}) + V (Q_{1}, Q_{2}, Q_{3})

当势仅依赖于组合 $Q_{1}^{2} + Q_{2}^{2} + Q_{3}^{2}$ 时

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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