25.5 有限维中的正规序与反常

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 李代数表示

对于 $A \in u (d) \subset sp (2 d, R)$ ，我们已经看到可以将元辛表示的 Lie 代数版本构造为

U_{A}^{'} = \frac{1}{2} j, k \sum A_{j k} (a_{j}^{†} a_{k} + a_{k} a_{j}^{†})

这给出了一个可延拓到sp(2d, $R$ )的表示，或者我们可以进行正规排序，得到

U_{A}^{'} =: U_{A}^{'} := j, k \sum a_{j}^{†} A_{j k} a_{k} = U_{A}^{'} - \frac{1}{2} j = 1 \sum d A_{j j} 1

为看出这个正规序版本不能延拓到 $sp (2 d, R)$ ，注意 sp(2d, $R$ ) 中不在 $u (d)$ 内的基元素是 $z_{j} z_{k}$ 与 $\overline{z}_{j} \overline{z}_{k}$ 的、对应于实值函数的线性组合。它们由下式给出

\frac{1}{2} j k \sum (B_{j k} z_{j} z_{k} + \overline{B}_{j k} \overline{z}_{j} \overline{z}_{k})

对于矩阵元为 $B_{j k}$ 的复对称矩阵 $B$ 。这里不存在正规排序歧义，量子化将给出酉李代数表示算符

- \frac{i}{2} j k \sum (B_{j k} a_{j}^{†} a_{k}^{†} + \overline{B}_{j k} a_{j} a_{k})

将此类算符取指数，将得到把态 |0⟩ 变为一个不同态（即与 |0⟩ 不成正比的态）的算符。

利用正则对易关系可以证明

[a_{j}^{†} a_{k}^{†}, a_{l} a_{m}] = - a_{l} a_{j}^{†} δ_{k m} - a_{l} a_{k}^{†} δ_{j m} - a_{j}^{†} a_{m} δ_{k l} - a_{k}^{†} a_{m} δ_{j l}

而这些关系反过来可用于计算两个此类李代数表示算符的对易子，结果为

[- \frac{i}{2} \sum_{j k} (B_{j k} a_{j}^{†} a_{k}^{†} + \overline{B}_{j k} a_{j} a_{k}), - \frac{i}{2} \sum_{l m} (C_{l m} a_{l}^{†} a_{m}^{†} + \overline{C}_{l m} a_{l} a_{m})] = \frac{1}{2} \sum_{j k} (B \overline{C} - C \overline{B})_{j k} (a_{j}^{†} a_{k} + a_{k} a_{j}^{†}) = U_{B \overline{C} - C \overline{B}}^{'}

注意，这些算符的正规排序只是将它们平移一个常数，特别地

U_{B \overline{C} - C \overline{B}}^{'} =: U_{B \overline{C} - C \overline{B}}^{'} := U_{B \overline{C} - C \overline{B}}^{'} - \frac{1}{2} t r (B \overline{C} - C \overline{B}) 1 (25.9)

当正规序算符延拓到 sp(2d, $R$ ) 时，它们不能给出一个李代数同态，但这种失败仅由一个常数项造成。回忆 15.3 节，即使在经典层面，矩映射的选取中也存在一个常数的不确定性，这原则上可能导致一种“反常”，即矩映射因一个常数项而不能成为李代数同态的情形。这里的情形是，这种潜在的反常可以通过平移消除，

U_{A}^{'} \to U_{A}^{'} = U_{A}^{'} + \frac{1}{2} t r (A) 1

这就给出了满足李代数同态性质的表示算符。我们将在第39章看到，对于无穷多个自由度，反常可能无法消除，因为在那种情况下算符 $A$ 的迹可能是发散的。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 276、277、278、279、280、281、282、283、284、285、286、287、288、289

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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