25.4 在 d=2 和 3 中的例子

25.4.1 两个自由度与 SU(2)

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值 · 李代数 · 李代数表示 · 酉表示 · 不可约表示 · 李括号 · 复化

在 $d = 2$ 的情形中，第25.3节讨论的群 $U (2) \subset S p (4, R)$ 的作用与标准谐振子哈密顿算子对易，因而作为量子谐振子态空间上的对称性作用，保持能量特征子空间不变。限制到子群 $S U (2) \subset U (2)$ ，我们将看到，可以在一个新的语境中恢复我们早先（见第8.2节）用齐次多项式构造 $S U (2)$ 表示的方法。这种利用二维谐振子能量本征态的做法在物理学文献中表现为研究 $S U (2)$ 表示的“Schwinger玻色子方法”。

对于 $d$ = 2的Bargmann-Fock表示，限制在能量本征态的有限线性组合上，其状态空间是

H = F_{2}^{f in} = C [z_{1}, z_{2}]

两个复变量 $z_{1}, z_{2}$ 中的多项式。回想我们在 $S U (2)$ 讨论中，将这些多项式组织成次数为 $n$ 的齐次多项式所构成的有限维集合是有用的，其中 $n = 0, 1, 2, ...$

H = H^{0} \oplus H^{1} \oplus H^{2} \oplus \dots

有四个湮灭或产生算符

a_{1}^{†} = z_{1}, a_{2}^{†} = z_{2}, a_{1} = \frac{\partial}{\partial z _{1}}, a_{2} = \frac{\partial}{\partial z _{2}}

作用于 $H$ 。这些是复化相空间坐标 $z_{1}, z_{2}, \overline{z}_{1}, \overline{z}_{2}$ 的量子化，其量子化为 $h_{2 d + 1} = h_{5}$ 的表示 $Γ_{B F}^{'}$ 的Bargmann-Fock构造

Γ_{B F}^{'} (1) = - i 1, Γ_{B F}^{'} (z_{j}) = - i a_{j}^{†}, Γ_{B F}^{'} (\overline{z}_{j}) = - i a_{j}

产生和湮灭算符的二次组合在 $H$ 上给出sp(4, $R$ )的复化 $sp (4, C)$ 的三个子代数的表示：

• 由 $\overline{z}_{1} \overline{z}_{2}, \overline{z}_{1}^{2}, \overline{z}_{2}^{2}$ 2张成的三维交换李代数，并带有量子化

Γ_{B F}^{'} (\overline{z}_{1} \overline{z}_{2}) = - i a_{1} a_{2}, Γ_{B F}^{'} (\overline{z}_{1}^{2}) = - i a_{1}^{2}, Γ_{B F}^{'} (\overline{z}_{2}^{2}) = - i a_{2}^{2}

• 一个由 $z_{1} z_{2}, z_{1}^{2}, z_{2}^{2}$ 2张成的三维交换李代数，并带有量子化

Γ_{B F}^{'} (z_{1} z_{2}) = - i a_{1}^{†} a_{2}^{†}, Γ_{B F}^{'} (z_{1}^{2}) = - i (a_{1}^{†})^{2}, Γ_{B F}^{'} (z_{2}^{2}) = - i (a_{2}^{†})^{2}

• 一个四维李代数，同构于 gl(2, $C$ )，其基为

z_{1} \overline{z}_{1}, z_{2} \overline{z}_{2}, z_{2} \overline{z}_{1}, z_{1} \overline{z}_{2}

与量子化

Γ_{B F}^{'} (z_{1} \overline{z}_{1}) Γ_{B F}^{'} (z_{2} \overline{z}_{1}) = - \frac{i}{2} (a_{1}^{†} a_{1} + a_{1} a_{1}^{†}), Γ_{B F}^{'} (z_{2} \overline{z}_{2}) = - \frac{i}{2} (a_{2}^{†} a_{2} + a_{2} a_{2}^{†}) = - i a_{2}^{†} a_{1}, Γ_{B F}^{'} (z_{1} \overline{z}_{2}) = - i a_{1}^{†} a_{2}

实线性组合

z_{1} \overline{z}_{1}, z_{2} \overline{z}_{2}, z_{1} \overline{z}_{2} + z_{2} \overline{z}_{1}, i (z_{1} \overline{z}_{2} - z_{2} \overline{z}_{1})

张成李代数 $u (2) \subset sp (4, R)$ ，并且 $Γ_{B F}^{'}$ 作用于这些 $gi$ 上，通过斜伴随算符给出一个酉李代数表示。

在这最后一个子代数内，存在一个特殊的元素 $h = z_{1} \overline{z}_{1} + z_{2} \overline{z}_{2}$ ，它与该子代数的其余元素泊松对易（但不与前两个子代数中的元素对易）。对 $h$ 进行量子化得到哈密顿算子

H = \frac{1}{2} (a_{1} a_{1}^{†} + a_{1}^{†} a_{1} + a_{2} a_{2}^{†} + a_{2}^{†} a_{2}) = N_{1} + \frac{1}{2} + N_{2} + \frac{1}{2} = z_{1} \frac{\partial}{\partial z _{1}} + z_{2} \frac{\partial}{\partial z _{2}} + 1

该算符将齐次多项式乘以其次数加一，因此它在 $H^{n}$ 上通过乘以 $n + 1$ 作用。将该算符（乘以− $i$ ）指数化，得到a $U (1)$ 子群在metaplectic覆盖 $M p (4, R)$ 中的一个表示。若改为取正规序版本

: H := a_{1}^{†} a_{1} + a_{2}^{†} a_{2} = N_{1} + N_{2} = z_{1} \frac{\partial}{\partial z _{1}} + z_{2} \frac{\partial}{\partial z _{2}}

得到 a $U (1)$ 的一个表示，它是 $S p (4, R)$ 的子群。 $H$ 和 $: H :$ 都不与来自前两个子代数量子化的算符对易。

这些将是成对的产生算符或湮灭算符的线性组合，因此会将 $H$ 或: $H$ :的特征值改变±2，映射

H^{n} \to H^{n \pm 2}

特别地，取|0⟩为0或 $H^{2}$ 中的某个状态

$h$ 是 $u (2) = u (1) \oplus su (2)$ 中 $u (1)$ 的一个基元素。对于 $su (2)$ 部分，在基元素 $X_{j} = - i \frac{σ _{j}}{2}$ 上，矩映射 25.3 给出以下二次多项式

μ_{X_{1}} = \frac{1}{2} (z_{1} \overline{z}_{2} + z_{2} \overline{z}_{1}), μ_{X_{2}} = \frac{i}{2} (z_{2} \overline{z}_{1} - z_{1} \overline{z}_{2}), μ_{X_{3}} = \frac{1}{2} (z_{1} \overline{z}_{1} - z_{2} \overline{z}_{2})

这关联了描述 $su (2)$ 的两种不同但同构的方式：作为 2 乘 2 矩阵，其李括号为对易子；或作为二次多项式，其李括号为泊松括号。

使用Bargmann-Fock表示进行量子化，在 $H$ 上给出su(2)的一个表示

Γ_{B F}^{'} (X_{1}) Γ_{B F}^{'} (X_{3}) = - \frac{i}{2} (a_{1}^{†} a_{2} + a_{2}^{†} a_{1}), Γ_{B F}^{'} (X_{2}) = \frac{1}{2} (a_{2}^{†} a_{1} - a_{1}^{†} a_{2}) = - \frac{i}{2} (a_{1}^{†} a_{1} - a_{2}^{†} a_{2})

将其与第 $^{8,}$ 章中讨论的 $su (2)$ 在齐次多项式上的表示 $π^{'}$ 相比较，可以发现 $Γ_{B F}^{'}$ 与 $π^{'}$ 是同一个表示。使该表示成为酉表示的内积是方程 8.2 中的内积。Bargmann-Fock 表示将这一 $S U (2)$ 表示作为酉表示推广到一个大得多的群 $(H_{5} ⋊ M p (4, R))$ ，此时 $z_{1}, z_{2}$ 中的所有多项式共同构成 $H_{5}$ 的一个不可约表示。

我们有一个 $S U (2)$ 群作用在 $d = 2$ 谐振子的态空间上，并与哈密顿算子 $H$ 的作用对易，这一事实意味着能量本征态可以组织为 $S U (2)$ 的不可约表示。特别地，可以看到能量为 $n + 1$ 的能量本征态空间 $H^{n}$ 将是单个不可约 $S U (2)$ 表示，即维数为 $n + 1$ 的自旋 $\frac{n}{2}$ 表示（因此 $n$ + 1 将是该能量的能量本征态的重数）。

这里另一个物理上有趣的子群是 $S O (2) \subset S U (2) \subset$ $S p (4, R)$ ，它由位置平面和动量平面中的同时旋转组成，并已在 20.3.1 节中使用坐标 $q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}$ 进行了详细研究。在那里我们发现，矩映射由下式给出

μ_{L} = l = q_{1} p_{2} - q_{2} p_{1}

而通过薛定谔表示进行的量子化给出了李代数 so(2) 的一个表示，其中

U_{L}^{'} = - i (Q_{1} P_{2} - Q_{2} P_{1})

注意，这是一个不同的 $S O (2)$ 作用量，其矩映射为哈密顿算子；它分别作用于位置和动量，而不是将它们混合。

为了看清如果改用Bargmann-Fock表示会发生什么，使用

q_{j} = \frac{1}{2} (z_{j} + \overline{z}_{j}), p_{j} = i \frac{1}{2} (z_{j} - \overline{z}_{j})

矩映射是

μ_{L} = \frac{i}{2} ((z_{1} + \overline{z}_{1}) (z_{2} - \overline{z}_{2}) - (z_{2} + \overline{z}_{2}) (z_{1} - \overline{z}_{1})) = i (z_{2} \overline{z}_{1} - z_{1} \overline{z}_{2})

量子化，算符

U_{L}^{'} = a_{2}^{†} a_{1} - a_{1}^{†} a_{2} = Γ^{'} (2 X_{2})

给出了 $so (2)$ 的一个酉表示。这里的因子二反映了这样一个事实：指数映射给出 $S O (2) \subset S p (4, R)$ 的一个表示，而不需要双覆盖。

25.4.2 三个自由度与 SO(3)

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值 · 李代数 · 不可约表示

$d = 3$ 的情形在物理上对应于所谓的各向同性量子谐振子体系，它是我们在第 21 章研究过的那类中心势问题的一个例子（因为势仅依赖于 $r^{2} = q_{1} + q_{2}^{2} + q_{3}^{2})$ ）。对于这类问题，我们看到，由于经典哈密顿量具有旋转不变性，量子哈密顿量将与 $S O (3)$ 在波函数上的作用对易，并且能量本征态可以分解为 $S O (3)$ 的不可约表示。

这里，Bargmann-Fock 表示给出了 $H_{7} ⋊ M p (6, R)$ 在态空间上的一个作用，其中 a $U (3)$ 子群与哈密顿算子对易（更确切地说，有 $U (3)$ 的一个双覆盖，但通过正规序可以得到一个真正的 $U (3))$ 。对应于哈密顿算子的 $U (1)$ 的特征值给出一个态的能量，而给定能量的态将是 $S U (3)$ 的不可约表示之和）。这很像 $d = 2$ 情形，尽管这里我们的不可约表示是在三个变量而非两个变量的次数为 $n$ 的齐次多项式空间 $H^{n}$ 上。这些空间的维数为 $\frac{1}{2} (n + 1) (n + 2)$ ）。与 $S U (2)$ 情形的一个不同之处在于，用这种方式不能得到 $S U (3)$ 的所有不可约表示。

旋转群 $S O (3)$ 将是这个 $U (3)$ 的一个子群，人们可以问 $S U (3)$ 不可约 $H^{n}$ 如何分解为子群的不可约表示之和（该子群将由一个整数自旋 $l = 0, 1, 2, \dots)$ 来刻画）。可以证明，对于偶数 $n$ ，人们得到从 0 到 $n,$ 的所有偶数 $l$ 值；而对于奇数 $n$ ，人们得到从 1 到 $n$ 的所有奇数 $l$ 值。其导子可以在一些量子力学教科书中找到，例如参见 [60] 的第 456–460 页。

为在Bargmann-Fock表示中构造角动量算子，回忆在Schr¨odinger表示中这些曾是

L_{1} = Q_{2} P_{3} - Q_{3} P_{2}, L_{2} = Q_{3} P_{1} - Q_{1} P_{3}, L_{3} = Q_{1} P_{2} - Q_{2} P_{1}

而这些算符可以用湮灭算符和产生算符重新表示。或者，可以使用定理25.2，对于李代数基元素 $l_{j} \in so (3) \subset u (3) \subset gl (3, C)$ ，它们是（见第6章）

l_{1} = 000001 0 - 1 0, l_{2} = 00 - 1 000100, l_{3} = 010 - 1 00 000

计算

- i L_{j} = U_{l_{j}}^{'} = m, n = 1 \sum 3 a_{m}^{†} (l_{j})_{mn} a_{n}

这给出

U_{l_{1}}^{'} = a_{3}^{†} a_{2} - a_{2}^{†} a_{3}, U_{l_{2}}^{'} = a_{1}^{†} a_{3} - a_{3}^{†} a_{1}, U_{l_{3}}^{'} = a_{2}^{†} a_{1} - a_{1}^{†} a_{2}

将这些算符取指数给出旋转群 $S O (3)$ 在状态空间 $F_{3} .$ 上的一个表示，该表示与哈密顿算子对易，因此作用在能量特征子空间（即固定次数的齐次多项式）上。

来源与版本

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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译稿产物 SHA-256：99b9f14c3314e4295f876ae25b45a0e8610de17f8a2fb62deb8c14c6f31abaaa

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