31.2 费米子的薛定谔表示：鬼场

31.2 费米子的薛定谔表示：鬼场

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 不可约表示 · 复化

我们希望利用与玻色子情形中薛定谔构造和巴格曼-福克构造类似的构造，来构造 $\mathrm{Cliff}(r,s,\mathbf{R})$ 的表示，并由此构造费米子态空间。薛定谔构造将态空间 $\mathcal{H}$ 取为经典相空间的某个子空间上的函数空间，该子空间具有基坐标函数泊松对易的性质。这方面的两个例子是位置坐标 $q_j,$，因为 $\{q_j,q_k\}=0$，或者动量坐标 $p_j.$，因为 $\{p_j,p_k\}=0$。遗憾的是，对于具有确定符号的对称双线性形式 $(\cdot ,\cdot )$，例如正定情形 $\mathrm{Cliff}(n,\mathbf{R})$ 2，该双线性形式为零的唯一子空间是零子空间。

为得到玻色子情形的类比，需要取符号为$(d,d)$的情形。此时费米子相空间将是2d维的，其中有$d$维子空间，在它们上面$(\cdot ,\cdot )$从而费米子泊松括号为零。量子化将给出Cliford代数

$$\mathrm{Cliff}(d,d,\mathbf{R})=M(2^d,\mathbf{R})$$

它只有一个不可约表示，${\mathbf{R}}^{2^d}$。这可以通过复化得到一个复状态空间

$${\mathcal{H}}_F={\mathbf{C}}^{2^d}$$

这个状态空间将带有由 $\mathrm{Cliff}(d,d,\mathbf{R})$ 的生成元的二次组合取指数所得到的 $Spin(d,d,\mathbf{R})$ 的一个表示。然而，这是一个非紧群，并且可以证明，基于一般理由，它不可能有忠实的酉有限维表示，因此必然存在酉性的问题。

为明确了解所发生的情况，考虑最简单的情形$d=1$，即一个自由度。在玻色子情形中，经典相空间为${\mathbf{R}}^2$，量子化给出算符$Q,P$，其在薛定谔表示中作用于$q,$的函数，且有$Q=q$和$P=-i\frac{\partial }{\partial q}$。在具有符号$(1,1)$的费米子情形中，相空间上的基坐标函数为${\xi }_1,{\xi }_2$，且有

$$\{{\xi }_1,{\xi }_1{\}}_{+}=1,\{{\xi }_2,{\xi }_2{\}}_{+}=-1,\{{\xi }_1,{\xi }_2{\}}_{+}=0$$

定义

定义

$$\eta =\frac{1}{\sqrt{2}}({\xi }_1+{\xi }_2),\pi =\frac{1}{\sqrt{2}}({\xi }_1-{\xi }_2)$$

人们得到具有费米子泊松括号的对象，类似于$q$和$p$的那些。

$$\{\eta ,\eta {\}}_{+}=\{\pi ,\pi {\}}_{+}=0,\{\eta ,\pi {\}}_{+}=1$$

量子化后，我们得到 $Q,P$ 算符的类似物

$$\hat{\eta }={\Gamma }^{+}(\eta )=\frac{1}{\sqrt{2}}({\Gamma }^{+}({\xi }_1)+{\Gamma }^{+}({\xi }_2)),\hat{\pi }={\Gamma }^{+}(\pi )=\frac{1}{\sqrt{2}}({\Gamma }^{+}({\xi }_1)-{\Gamma }^{+}({\xi }_2))$$

它们满足反交换关系

$${\hat{\eta }}^2={\hat{\pi }}^2=0,\hat{\eta }\hat{\pi }+\hat{\pi }\hat{\eta }=1$$

并可在单费米子变量 $\eta$ 的函数空间上实现为算符，即

$$\hat{\eta }=\mathrm{multiplicationby}\eta ,\hat{\pi }=\frac{\partial }{\partial \eta }$$

该状态空间是二维复的，具有任意状态

$$f(\eta )=c_{1}1+c_2\eta$$

带有$c_j$复数。该空间上的内积由费米子积分给出

$$(f_1(\eta ),f_2(\eta ))=\int f_1^{\ast }(\eta )f_2(\eta )d\eta$$

与

$$f^{\ast }(\xi )={\overline{c}}_{1}1+{\overline{c}}_2\eta$$

关于此内积，有

$$(1,1)=(\eta ,\eta )=0,(1,\eta )=(\eta ,1)=1$$

该内积是不定的，可以取负值，因为

$$(1-\eta ,1-\eta )=-2$$

拥有这样的负范数态会破坏将其视为物理系统的任何标准解释，因为这个负数本应是发现系统处于该态的概率。这类量子系统被称为“鬼”，并且确实在描述各种量子系统中有所应用，但只有当存在某种机制使负范数态相消或以其他方式从理论的物理态空间中移除时，才会如此。

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来源版本：2025-10-20

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