31.1 伪经典系统的量子化

31.1 伪经典系统的量子化

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 线性映射 · 李代数 · 李代数表示 · 酉表示 · 不可约表示 · 李群 · 复化

在玻色子情形中，量子化基于寻找相空间上线性函数的海森堡李代数的一个表示，或者更明确地说，对于该李代数的基元素 $q_j,p_j$，寻找满足海森堡对易关系的算符 $Q_j,P_j$。在费米子情形中，海森堡李代数的类似物不是李代数，而是一个李超代数，其基元素为 $1,{\xi }_j,j=1,\dots ,n$，李超括号由费米子

泊松括号，其在基元素上为

$$\{{\xi }_j,{\xi }_k{\}}_{+}=\pm {\delta }_{jk},\{{\xi }_j,1{\}}_{+}=0,\{1,1{\}}_{+}=0$$

量子化通过寻找该李超代数的一个表示来实现。李代数表示的定义可以通过以下方式推广为李超代数表示的定义：

定义（李超代数的表示）

李超代数的一个表示是一个保持超括号的 $\Phi$ 同态

$$[\Phi (X),\Phi (Y){]}_{\pm }=\Phi ([X,Y{]}_{\pm })$$

其取值位于线性算符的李超代数中，且满足 $|\Phi (X)|=|X|$ 以及

$$[\Phi (X),\Phi (Y){]}_{\pm }=\Phi (X)\Phi (Y)-(-{)}^{|X||Y|}\Phi (Y)\Phi (X)$$

伪经典李超代数的一个表示（从而是伪经典系统的一个量子化）将通过找到一个线性映射 ${\Gamma }^{+}$ 来给出，该映射把基元素 ${\xi }_j$ 映为满足这些关系的算符 ${\Gamma }^{+}({\xi }_j)$

$$[{\Gamma }^{+}({\xi }_j),{\Gamma }^{+}({\xi }_k){]}_{+}=\pm {\delta }_{jk}{\Gamma }^{+}(1),[{\Gamma }^{+}({\xi }_j),{\Gamma }^{+}(1)]=[{\Gamma }^{+}(1),{\Gamma }^{+}(1)]=0$$

通过取以下内容，可以满足这些关系

$${\Gamma }^{+}({\xi }_j)=\frac{1}{\sqrt{2}}{\gamma }_j,{\Gamma }^{+}(1)=1$$

自那时起

$$[{\Gamma }^{+}({\xi }_j),{\Gamma }^{+}({\xi }_k){]}_{+}=\frac{1}{2}[{\gamma }_j,{\gamma }_k{]}_{+}=\pm {\delta }_{jk}$$

正是Clifford代数关系。这可以推广为对阶数不超过二的${\xi }_j$的函数的表示，通过

定理

坐标 ${\xi }_j$ 的反交换函数李超代数在 ${\mathbf{R}}^n$ 上的阶为二或更低的表示由下式给出

$${\Gamma }^{+}(1)=1,{\Gamma }^{+}({\xi }_j)=\frac{1}{\sqrt{2}}{\gamma }_j,{\Gamma }^{+}({\xi }_j{\xi }_k)=\frac{1}{2}{\gamma }_j{\gamma }_k$$

证明。我们已经看到，这是 ${\xi }_j$ 中次数为零和一的代数多项式的一个表示。为简单起见，仅考虑 $s=0$（正定内积）的情形，在次数为二时，费米子泊松括号关系由方程 30.1 和 30.2 给出。对于 30.1，可以证明克利福德代数生成元的乘积

$${\Gamma }^{+}({\xi }_j{\xi }_k)=\frac{1}{2}{\gamma }_j{\gamma }_k$$

满足

$$\left[\frac{1}{2}{\gamma }_j{\gamma }_k,{\gamma }_l\right]={\delta }_{kl}{\gamma }_j-{\delta }_{jl}{\gamma }_k$$

通过使用Clifford代数关系，或注意到这是方程29.5在$\mathbf{v}={\mathbf{e}}_l$时的特殊情形。该方程表明，通过与$-\frac{1}{2}{\gamma }_j{\gamma }_k$ 2对易，其作用是在$jk$坐标平面内产生无穷小旋转${ϵ}_{jk}$。

对于 30.2，Cliford 代数关系可以再次用来证明

$$\left[\frac{1}{2}{\gamma }_j{\gamma }_k,\frac{1}{2}{\gamma }_l{\gamma }_m\right]={\delta }_{kl}\frac{1}{2}{\gamma }_j{\gamma }_m-{\delta }_{jl}\frac{1}{2}{\gamma }_k{\gamma }_m+{\delta }_{km}\frac{1}{2}{\gamma }_l{\gamma }_j-{\delta }_{jm}\frac{1}{2}{\gamma }_l{\gamma }_k$$

人们也可以改用基元素 ${ϵ}_{jk}$ 所满足的 $\mathfrak{so}(n)$ 李代数的对易关系，这些基元素对应于无穷小旋转。对于 $-\frac{1}{2}{\gamma }_j{\gamma }_k$ 必须得到相同的对易关系，并且可以证明这些关系正是 ${\Gamma }^{+}\overline{(}{\xi }_j{\xi }_k)$ 与 ${\Gamma }^{+}$($\xi$ $\xi$ ) 的对易子所需的关系。

注意，这里我们并未将因子$i$引入量子化的定义中，而在玻色子情形中，为了得到与实海森堡李代数${\mathfrak{h}}_{2d+1}$对应的李群的酉表示，这些因子是必要的。在玻色子情形中，我们处理的是$Q_j,P_j$的幂的所有复线性组合（复Weyl代数$\mathrm{Weyl}(2d,\mathbf{C}))$），因此必须识别出这些组合中给出李代数$h_{2d+1}⋊\mathfrak{sp}(2d,\mathbf{R})$的酉表示的具体复线性组合。这里我们暂时不做复化，而是处理实Cliford代数$\mathrm{Cliff}(r,s,\mathbf{R})$，正是该代数的不可约表示提供了${\mathfrak{h}}_{2d+1}$的唯一有趣不可约表示的类似物。在Cliford代数情形中，所关注的表示不仅仅是李代数表示，而且可以作用在实向量空间上。${\mathfrak{h}}_{2d+1}$表示的酉性性质没有类似物。

在玻色子情形中，我们发现 $Sp(2d,\mathbf{R})$ 作用在玻色子对偶相空间上，保持决定了李代数 ${\mathfrak{h}}_{2d+1}$ 的反对称双线性形式 Ω，因此它通过自同构作用在该李代数上。我们看到（见第 20 章），那里的交织算符给出了 $Sp(2d,\mathbf{R})$ 的双重覆盖的一个表示（即元plectic表示），其李代数表示由 $q_j,p_j$ 相空间坐标的二次函数的量子化给出。在费米子情形中有一个密切类似的故事，其中 $SO(r,s,\mathbf{R})$ 作用在费米子相空间 $V,$ 上，保持决定了 Clifford 代数关系的对称双线性形式 $(\cdot ,\cdot )$。这里，利用交织算符构造了双重覆盖 $SO(r,s,\mathbf{R})$ 的自旋群 $Spin(r,s,\mathbf{R})$ 的一个表示，其李代数表示由费米子坐标 ${\xi }_j$ 的量子化的二次组合给出。$r=3,s=1$ 的情形在我们后面讨论狭义相对论时将是重要的（见第 41 章），它给出洛伦兹群的旋量表示。

20.1的费米子类比是

$$U_k{\Gamma }^{+}(\xi )U_k^{-1}={\Gamma }^{+}({\varphi }_{k_0}(\xi ))\text{\hspace{1em}(31.1)}$$

这里 $k_0\in SO(r,s,\mathbf{R}),\xi \in V^{\ast }={\mathbf{R}}^n(n=r+s),{\varphi }_{k_0}$ 是 $k_0$ 对 $V^{\ast }$ 的作用。对于 $k={\Phi }^{-1}(k_0)\in Spin(r,s)(\Phi$ 的 $U_k$ 是二重覆盖映射）正是我们要寻找的交织算符。20.2 的费米子类比是

$$[U_L^{\prime },{\Gamma }^{+}(\xi )]={\Gamma }^{+}(L\cdot \xi )$$

其中 $L\in \mathfrak{so}(r,s,\mathbf{R})$ 和 $L$ 作为无穷小正交变换作用于 $V^{\ast }$。就 $V^{\ast }$ 的基向量而言

$$\mathbf{\xi }=\left(\begin{array}{c}{\xi }_1\\ ⋮\\ {\xi }_n\end{array}\right)$$

本节说明

$$[U_L^{\prime },{\Gamma }^{+}(\xi )]={\Gamma }^{+}(L^T\xi )$$

正如在玻色子的情形中一样，通过首先考察伪经典情形可以找到 $U_L^{\prime }$，其中有定理 30.1 表明

$$\{{\mu }_L,\xi {\}}_{+}=L^T\xi$$

其中

$${\mu }_L=\frac{1}{2}\mathbf{\xi }\cdot L\mathbf{\xi }=\frac{1}{2}\sum _{j,k}{L}_{jk}{\xi }_j{\xi }_k$$

于是取

$$U_L^{\prime }={\Gamma }^{+}({\mu }_L)=\frac{1}{4}\sum _{j,k}{L}_{jk}{\gamma }_j{\gamma }_k$$

对于正定情形 $s=0$ 以及 $jk$ 平面内的一个旋转，当 $L={ϵ}_{jk}$ 时，可重新得到第 29 章的公式 29.4 和 29.5，其中

$$\left[-\frac{1}{2}{\gamma }_j{\gamma }_k,\gamma (\mathbf{v})\right]=\gamma ({ϵ}_{jk}\mathbf{v})$$

旋转对$\gamma$矩阵的无穷小作用量，以及

$$\gamma (\mathbf{v})\to e^{-\frac{\theta }{2}{\gamma }_j{\gamma }_k}\gamma (\mathbf{v})e^{\frac{\theta }{2}{\gamma }_j{\gamma }_k}=\gamma (e^{\theta {ϵ}_{jk}}\mathbf{v})$$

群版本。正如在辛情形中一样，对$U_L^{\prime }$取指数只给出一个差一个符号的表示，而要到$SO(n)$的双覆盖上才能得到真正的表示。正如那种情形一样，双覆盖的必要性最好通过使用复结构以及Bargmann-Fock构造的类似物来看出，一个例子将在31.4节中给出。

为了完整地构造一个伪经典系统的量子化，我们需要将 ${\Gamma }^{+}({\xi }_j)$ 构造为状态空间上的线性算符。正如 $\mathrm{As}$ 在 28.2 节中提到的，可以证明实 Clifford 代数 $\mathrm{Cliff}(r,s,\mathbf{R})$ 同构于矩阵代数 $M(2^l,\mathbf{R}),\dot{M}(2^l,\mathbf{C})$ 或 $M(2^l,\mathbf{H})$ 的一份或两份拷贝，其中幂次 $l$ 取决于 $r,s.$。此类矩阵代数的不可约表示就是维数为 $2^l$ 的列向量，并且对于 $\mathrm{Cliff}(r,s,\mathbf{R})$，根据矩阵代数拷贝数的不同，将有一个或两个这样的不可约表示。这是玻色子情形中 Stone-von Neumann 唯一性结果的费米子类比。

31.1.1 伪经典自旋的量子化

作为一个例子，可以考虑第30.3.1节中伪经典自旋自由度的量子化。在这种情况下，${\Gamma }^{+}$取值于$\mathrm{Cliff}(3,0,\mathbf{R})$ 2，而在第28.2节中已给出了它与二阶复矩阵代数$M(2,\mathbf{C})$的显式等同。人们有

$${\Gamma }^{+}({\xi }_j)=\frac{1}{\sqrt{2}}{\gamma }_j=\frac{1}{\sqrt{2}}{\sigma }_j$$

而哈密顿算符是

$$\begin{array}{rl}-iH& ={\Gamma }^{+}(h)={\Gamma }^{+}(B_{12}{\xi }_1{\xi }_2+B_{13}{\xi }_1{\xi }_3+B_{23}{\xi }_2{\xi }_3)\\ & =\frac{1}{2}(B_{12}{\sigma }_1{\sigma }_2+B_{13}{\sigma }_1{\sigma }_3+B_{23}{\sigma }_2{\sigma }_3)\\ & =i\frac{1}{2}(B_1{\sigma }_1+B_2{\sigma }_2+B_3{\sigma }_3)\end{array}$$

这不过是我们在第$7$章中关于磁场中固定自旋粒子的旧例子。

准经典运动方程

$$\frac{d}{dt}{\xi }_j(t)=-\{h,{\xi }_j{\}}_{+}$$

量子化后成为自旋算符的海森堡绘景运动方程（见方程7.3）

$$\frac{d}{dt}{\mathbf{S}}_H(t)=-i[{\mathbf{S}}_H\cdot \mathbf{B},{\mathbf{S}}_H]$$

对于哈密顿算子的情形

$$H=-\mathbf{\mu }\cdot \mathbf{B}$$

（见方程7.2）和磁矩算符

$$\mathbf{\mu }=\mathbf{S}$$

这里的状态空间是 $\mathcal{H}={\mathbf{C}}^2$，并通过我们将 $\mathrm{Cliff}(3,0,\mathbf{R})$ 与二阶复矩阵等同起来的明确选择，给出了一个显式的基。在接下来的几节中，我们将考虑偶数维费米子相空间的情形，但在那里将给出状态空间及其上克利福德代数作用的与基无关的构造。

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