31.3 旋量与Bargmann-Fock构造

31.3 旋量与Bargmann-Fock构造

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 复内积 · 李代数 · 酉表示 · 不可约表示 · 群在集合上的作用

虽然薛定谔构造的费米子类比不能给出自旋群的酉表示，但巴格曼-福克构造的费米子类比却可以，它作用在第27章讨论的费米子振子态空间上。这对于正定对称双线性形式 $(\cdot ,\cdot )$ 的情形将成立。不过要注意，这只对 $n$ 为偶数的费米子相空间 ${\mathbf{R}}^n$ 成立，因为相空间上需要一个复结构。

相应的伪经典系统将是第30.3.2节中研究的经典费米子振子。回忆一下，这使用了费米子相空间${\mathbf{R}}^{2d}$上的一个复结构$J$的选择，其中标准选择$J=J_0$来自这些关系

$${\theta }_j=\frac{1}{\sqrt{2}}({\xi }_{2j-1}-i{\xi }_{2j}),{\overline{\theta }}_j=\frac{1}{\sqrt{2}}({\xi }_{2j-1}+i{\xi }_{2j})\text{\hspace{1em}(31.2)}$$

对于实坐标与复坐标之间的$j=1,\dots ,d$。这里$(\cdot ,\cdot )$是正定的，而${\xi }_j$是关于正交标准基的坐标，因此我们有标准关系$\{{\xi }_j,{\xi }_k{\}}_{+}={\delta }_{jk}$，并且${\theta }_j,{\overline{\theta }}_j$满足

$$\{{\theta }_j,{\theta }_k{\}}_{+}=\{{\overline{\theta }}_j,{\overline{\theta }}_k{\}}_{+}=0,\{{\overline{\theta }}_j,{\theta }_k{\}}_{+}={\delta }_{jk}$$

在玻色子情形中（见方程 26.7），通过复线性将泊松括号从 $\mathcal{M}$ 延拓到 $\mathcal{M}\otimes \mathbf{C}$，在 $\mathcal{M}\otimes \mathbf{C}$ 上给出了一个不定厄米形式

$$⟨\cdot ,\cdot ⟩=i\{\bar{\cdot },\cdot \}=i\Omega (\bar{\cdot },\cdot )$$

在 ${\mathcal{M}}_J^{+}$ 上正定，对于正的 $J$。在费米子情形下，我们可以通过复线性性将费米子泊松括号从 $\nu$ 延拓到 ${\nu }_{\otimes }\mathbf{C}$，从而在 ${\nu }_{\otimes }\mathbf{C}$ 上得到一个厄米形式

$$⟨\cdot ,\cdot ⟩=\{\bar{\cdot },\cdot {\}}_{+}=(\bar{\cdot },\cdot )$$

该式在 ${\mathcal{V}}_J^{+}$ 上正定（并且，若初始对称双线性形式为正，则也在 ${\gamma }_J^{-})$ 上正定。

为了量子化这个系统，我们需要找到满足以下条件的算符${\Gamma }^{+}({\theta }_j)$和${\Gamma }^{+}({\overline{\theta }}_j)$

$$\begin{array}{rl}[{\Gamma }^{+}({\theta }_j),{\Gamma }^{+}({\theta }_k){]}_{+}& =[{\Gamma }^{+}({\overline{\theta }}_j),{\Gamma }^{+}({\overline{\theta }}_k){]}_{+}=0\\ {}_{+}& ={\delta }_{jk}1\end{array}$$

但这些正是费米子湮灭和产生算符所满足的CAR。我们可以选择

$${\Gamma }^{+}({\theta }_j)=a_{Fj}^{†},{\Gamma }^{+}({\overline{\theta }}_j)=a$$

并将这些算符实现为

$$a_{Fj}=\frac{\partial }{\partial {\theta }_j},a_{Fj}^{†}=\text{ multiplication by }{\theta }_j$$

在反交换变量${\theta }_j$的多项式构成的状态空间${\Lambda }^{\ast }{\mathbf{C}}^d$上。这是一个维数为$2^d$的复向量空间，与$d$个自由度中费米子振子的状态空间${\mathcal{H}}_F$同构，其同构由下式给出

$$\begin{array}{c}1\leftrightarrow |0{⟩}_F\\ {\theta }_j\leftrightarrow a_{Fj}^{†}|0{⟩}_F\\ {\theta }_j{\theta }_k\leftrightarrow a_{Fj}^{†}{a}_{Fk}^{†}|0⟩\\ \dots \\ {\theta }_1\dots {\theta }_d\leftrightarrow a_{F1}^{†}{a}_{F2}^{†}\dots a_{Fd}^{†}|0{⟩}_F\end{array}$$

其中指标$j,k,\dots$取值$1,2,\dots ,d$并满足$j<k<\cdots$

若在 ${\mathcal{H}}_F$ 上通过取这些基元素为标准正交基来定义厄米内积 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$，则算符 ${\mathbf{a}}_{Fj}$ 与 $a_{Fj}^{†}$ 将关于该内积互为伴随。通过类比玻色子情形中的 Bargmann-Fock 定义，这同一个内积也可以用费米子积分来定义，即

$$⟨f_1({\theta }_1,\dots ,{\theta }_d),f_2({\theta }_1,\dots ,{\theta }_d)⟩=\int e^{-{\sum }_{j=1}^d{\theta }_j{\overline{\theta }}_j}\overline{f_1}{f}_{2}d\overline{\theta }d{\theta }_1\dots d{\overline{\theta }}_{d}d{\theta }_d\text{\hspace{1em}(31.3)}$$

其中 $f_1$ 和 $f_2$ 是反交换变量 ${\theta }_j$ 的各次幂的复线性组合。关于此内积构造的细节，见 [91] 的第 7.2 章或 [110] 的第 7.5 章和第 7.6 章。我们将把这个态空间记作 ${\mathcal{F}}_d^{+}$，并称之为费米子 Fock 空间。由于它是有限维的，因此不需要像玻色子情形那样进行完备化。

这里使用费米子湮灭算符和产生算符进行的量子化，在复向量空间 ${\mathcal{F}}_d^{+}$ 上给出了 Cliford 代数 Clif(2d, $R$) 的一个表示的显式实现。Cliford 代数的生成元通过下式被等同于 ${\mathcal{F}}_d^{+}$ 上的算符：

$${\gamma }_{2j-1}=\sqrt{2}{\Gamma }^{+}({\xi }_{2j-1})=\sqrt{2}{\Gamma }^{+}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}({\theta }_j+{\overline{\theta }}_j)\right)=a_{Fj}+a_{Fj}^{†}$$ $${\gamma }_{2j}=\sqrt{2}{\Gamma }^{+}({\xi }_{2j})=\sqrt{2}{\Gamma }^{+}\left(\frac{i}{\sqrt{2}}({\theta }_j-{\overline{\theta }}_j)\right)=i(a_{Fj}^{†}-a_{Fj})$$

第30.3.2节中伪经典费米子振子哈密顿算子$h$的量子化给出

$${\Gamma }^{+}(h)={\Gamma }^{+}\left(-\frac{i}{2}\sum _{j=1}^d({\theta }_j{\overline{\theta }}_j-{\overline{\theta }}_j{\theta }_j)\right)=-\frac{i}{2}\sum _{j=1}^d(a_{Fj}^{†}{a}_{Fj}-a_{Fj}{a}_{Fj}^{†})=-iH\text{\hspace{1em}(31.4)}$$

其中 $H$ 是第 27 章所使用的费米子振子的哈密顿算子。

取算符 ${\gamma }_j$ 的二次组合给出了李代数 $s$ $\mathfrak{o}(2d)=\mathfrak{spin}(2d)$ 的一个表示。该表示指数化后成为群 $SO(2d)$ 的一个差一个符号的表示，以及其双覆盖 $Spin(2d)$ 的一个真实表示。我们在此处在费米子振子态空间 ${\mathcal{F}}_d^{+}$ 上构造出的表示称为 $Spin(2d)$ 的旋量表示，并且我们有时将带有此群作用的 ${\mathcal{F}}_d^{+}$ 记作 $S$。

在玻色子情形下，$\mathcal{H}={\mathcal{F}}_d$ 是海森堡群的一个不可约表示，但作为 $\mathcal{M}p(2d,\mathbf{R})$ 的表示，它有两个不可约分量，分别对应于偶多项式和奇多项式。费米子情形下的类似结论是，${\mathcal{F}}_d^{+}$ 在克利福德代数 $\mathrm{Cliff}(2d,\mathbf{C})$ 的作用下不可约。证明这一点的一种方法是证明 $\mathrm{Cliff}(2d,\mathbf{C})$ 同构于矩阵代数 $M(2^d,\mathbf{C})$，并且它在 ${\mathcal{H}}_F={\mathbf{C}}^{2^d}$ 上的作用同构于矩阵在列向量上的作用。

虽然 ${\mathcal{F}}_d^{+}$ 作为 Clifford 代数的表示是不可约的，但它是 $Spin(2d)$ 的两个不可约表示之和，即所谓的“半旋量”表示。$Spin(2d)$ 由 Clifford 代数生成元的二次组合生成，因此这些组合将保持这些子空间不变。

$$S_{+}=\mathrm{span}\{|0{⟩}_F,a_{Fj}^{†}{a}_{Fk}^{†}|0{⟩}_F,\dots \}\subset S={\mathcal{F}}_d^{+}$$

和

$$S_{-}=\mathrm{span}\{a_{Fj}^{†}|0{⟩}_F,a_{Fj}^{†}{a}_{Fk}^{†}{a}_{Fl}^{†}|0{⟩}_F,\dots \}\subset S={\mathcal{F}}_d^{+}$$

对应于偶数个或奇数个产生算符作用于$|0{⟩}_F$的作用。这是因为$a_{Fj},a_{F_j^{†}}$的二次组合保持产生算符数目的奇偶性，这些产生算符用于通过作用于$|0{⟩}_F.$而得到$S$的一个元素。

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