34.1 泡利-薛定谔方程与 d=3 中的自由自旋 1/2 粒子

34.1 泡利-薛定谔方程与 d=3 中的自由自旋 1/2 粒子

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迄今为止，我们已经看到了两个基于三维空间的截然不同的量子系统：

• 第19章的自由粒子。其经典相空间为 ${\mathbf{R}}^6$，坐标为 $q_1,q_2,q_3,p_1,p_2,p_3$，哈密顿算子为 $\frac{1}{2m}|\bar{\mathbf{p}}{|}^2$。使用薛定谔表示进行量子化，得到作用在位置坐标的平方可积函数空间 ${\mathcal{H}}_B=L^2({\mathbf{R}}^3)$ 上的算符 $Q_1,Q_2,Q_3,P_1,P_2,P_3$。哈密顿算符为

$$H=\frac{1}{2m}|\mathbf{P}{|}^2=-\frac{1}{2m}\left(\frac{{\partial }^2}{\partial q_1^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial q_2^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial q_3^2}\right)$$

• 自旋 $\frac{1}{2}$ 量子系统，首先在第 $7$ 章讨论，随后在第 31.1.1 节讨论。它具有一个赝经典费米子相空间 ${\mathbf{R}}^3$，其坐标为 ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$，在量子化之后成为算符

$$\frac{1}{\sqrt{2}}{\sigma }_1,\frac{1}{\sqrt{2}}{\sigma }_2,\frac{1}{\sqrt{2}}{\sigma }_3$$

在状态空间 ${\mathcal{H}}_F={\mathbf{C}}^2$ 上。对于这个系统，我们考虑了描述其与恒定背景磁场相互作用的哈密顿算子

$$H=-\frac{1}{2}(B_1{\sigma }_1+B_2{\sigma }_2+B_3{\sigma }_3)\text{\hspace{1em}(34.1)}$$

实验事实表明，基本物质粒子由一个量子系统描述，该系统是这两个系统的张量积，其状态空间为

$$\mathcal{H}={\mathcal{H}}_B\otimes {\mathcal{H}}_F=L^2({\mathbf{R}}^3)\otimes {\mathbf{C}}^2\text{\hspace{1em}(34.2)}$$

可将其视为双分量复波函数。此系统具有一种伪经典描述，使用一个相空间，其中包含六个常规坐标 $q_j,p_j$ 和三个费米子坐标 ${\xi }_j$。在这些坐标的函数上，有一个广义泊松括号 $\{\cdot ,\cdot {\}}_{\pm }$，它在此类函数上给出一个李超代数结构。在生成元上，非零括号关系为

$$\{q_j,p_k{\}}_{\pm }={\delta }_{jk},\{{\xi }_j,{\xi }_k{\}}_{\pm }={\delta }_{jk}$$

目前我们取背景磁场 $\mathbf{B}=0$ 。在第45章中，我们将看到如何将自由粒子推广到一般背景电磁场中的粒子情形，届时涉及 $B$ 场的哈密顿算子项 34.1 将会出现。在无电磁场时，经典哈密顿函数仍将是

$$h=\frac{1}{2m}(p_1^2+p_2^2+p_3^2)$$

但现在这可以写成以下形式（利用李超括号的莱布尼茨法则）

$$h=\frac{1}{2m}{\left\{\sum _{j=1}^3{p}_j{\xi }_j,\sum _{k=1}^3{p}_k{\xi }_k\right\}}_{\pm }=\frac{1}{2m}\sum _{j,k=1}^3{p}_j{\left\{{\xi }_j,{\xi }_k\right\}}_{\pm }{p}_k=\frac{1}{2m}\sum _{j=1}^3{p}_j^2$$

注意函数 $p_1{\xi }_1+p_2{\xi }_2+p_3{\xi }_3$ 的出现，它现在所起的作用甚至比哈密顿算子更为基本（哈密顿算子可以用它来表示）。在这种伪经典理论中，$p_1{\xi }_1+p_2{\xi }_2+p_3{\xi }_3$ 是生成 a “超对称 ${\mathrm{ry}}^{\mathrm{y}}$ 的函数，它与哈密顿算子泊松对易，同时又扮演着哈密顿算子的某种“平方根”的角色。它提供了一种新的对称性，可以将其视为无穷小时间平移的 a “平方根”。

量子化将

$$p_1{\xi }_1+p_2{\xi }_2+p_3{\xi }_3\to \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{P}$$

而哈密顿算子现在可以写成一个反对易子或一个平方

$$H=\frac{1}{2m}[\frac{1}{\sqrt{2}}\sigma \cdot \mathbf{P},\frac{1}{\sqrt{2}}\sigma \cdot \mathbf{P}{]}_{+}=\frac{1}{2m}(\sigma \cdot \mathbf{P}{)}^2=\frac{1}{2m}(P_1^2+P_2^2+P_3^2)$$

（利用 ${\sigma }_j$ 满足 $\mathrm{Cliff}(3,0,\mathbf{R}))$ 的 Clifford 代数关系这一事实。

我们将把三维狄拉克算符定义为

$$\partial /={\sigma }_1\frac{\partial }{\partial q_1}+{\sigma }_2\frac{\partial }{\partial q_2}+{\sigma }_3\frac{\partial }{\partial q_3}=\mathbf{\sigma }\cdot \nabla$$

它作用于二分量波函数

$$\psi (\mathbf{q})=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }_1(\mathbf{q})}{{\psi }_2(\mathbf{q})}\right)$$

使用这个狄拉克算符（在此语境中常称为“泡利算符”），我们可以写出薛定谔方程的两分量版本（常称为“泡利方程”或“泡利-薛定谔方程”）

$$\begin{array}{rl}i\frac{\partial }{\partial t}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }_1(\mathbf{q})}{{\psi }_2(\mathbf{q})}\right)& =-\frac{1}{2m}{\left({\sigma }_1\frac{\partial }{\partial q_1}+{\sigma }_2\frac{\partial }{\partial q_2}+{\sigma }_3\frac{\partial }{\partial q_3}\right)}^2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }_1(\mathbf{q})}{{\psi }_2(\mathbf{q})}\right)\\ & =-\frac{1}{2m}\left(\frac{{\partial }^2}{\partial q_1^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial q_2^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial q_3^2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }_1(\mathbf{q})}{{\psi }_2(\mathbf{q})}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(34.3)}$$

该方程是标准自由粒子薛定谔方程的两份拷贝，因此物理上对应于质量为 $m$ 的两类自由粒子的量子理论。当引入与电磁场的耦合时，它会变得远非平凡，正如第 45 章将看到的那样。

能量特征值 $E$ 的能量本征函数所满足的方程将是

$$\frac{1}{2m}(\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{P}{)}^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }_1(\mathbf{q})}{{\psi }_2(\mathbf{q})})=E(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }_1(\mathbf{q})}{{\psi }_2(\mathbf{q})})$$

就傅里叶逆变换而言

$${\psi }_{1,2}(\mathbf{q})=\frac{1}{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}{e}^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}}{\tilde{\psi }}_{1,2}(\mathbf{p})d^3\mathbf{p}$$

该方程变为

$$((\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{p}{)}^2-2mE)(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\tilde{\psi }}_1(\mathbf{p})}{{\tilde{\psi }}_2(\mathbf{p})})=(|\mathbf{p}{|}^2-2mE)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\tilde{\psi }}_1(\mathbf{p})}{{\tilde{\psi }}_2(\mathbf{p})}\right)=0\text{\hspace{1em}(34.4)}$$

与第19章一样，我们的解空间由动量空间中半径为$\sqrt{2mE}=\left|\mathbf{p}\right|$的球面上的支集上的分布给出，我们将其记作

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\tilde{\psi }}_1(\mathbf{p})}{{\tilde{\psi }}_2(\mathbf{p})}\right)=\delta (|\mathbf{p}{|}^2-2mE)(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\tilde{\psi }}_{E,1}(\mathbf{p})}{{\tilde{\psi }}_{E,2}(\mathbf{p})})\text{\hspace{1em}(34.5)}$$

其中 ${\tilde{\psi }}_{E,1}(\mathbf{p})$ 和 ${\tilde{\psi }}_{E,2}(\mathbf{p})$ 是球面 $|\mathbf{p}{|}^2=2mE$ 上的函数

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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