34.2 泡利方程的解与 E(3) 的表示

34.2 泡利方程的解与 E(3) 的表示

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值 · 李代数 · 李代数表示 · 不可约表示

由于

$$\frac{\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{p}}{|\mathbf{p}|}$$

是一个具有特征值 ±1 的可逆算符，34.4 的解将由下式的解给出

$$\frac{\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{p}}{|\mathbf{p}|}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\tilde{\psi }}_{E,1}(\mathbf{p})}{{\tilde{\psi }}_{E,2}(\mathbf{p})}\right)=\pm \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\tilde{\psi }}_{E,1}(\mathbf{p})}{{\tilde{\psi }}_{E,2}(\mathbf{p})}\right)\text{\hspace{1em}(34.6)}$$

其中 $|\mathbf{p}|=\sqrt{2mE}$ 。我们将该方程带正号的解记作 ${\psi }_{E,+}(\mathbf{p})$ ，带 − 号的解记作 ${\tilde{\psi }}_{E,-}(\mathbf{p})$ 。注意， ${\tilde{\psi }}_{E,+}(\mathbf{p})$ 和 ${\tilde{\psi }}_{E,-}(\mathbf{p})$ 各自是球面 $\sqrt{2mE}=\left|\mathbf{p}\right|$ 上的二分量复函数（或者更一般地，球面上的分布）。本节余下部分的目标将是证明

定理

方程 $34.6$ 的解空间 ${\tilde{\psi }}_{E,\pm }(\mathbf{p})$ 给出 $\stackrel{\sim }{E}(3)$ 的不可约表示，即 $E(3)$ 的双覆盖，其第一个卡西米尔算符的特征值为 2mE

$${\left|\mathbf{P}\right|}^2=(\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{P}{)}^2$$

以及第二卡西米尔算符 $J$ · $P$ 的特征值 $\pm \frac{1}{2}\sqrt{2mE}$。

我们不试图证明不可约性 $\mathrm{J},$，而只是说明这些解空间给出具有所述卡西米尔算符特征值的表示（关于卡西米尔算符以及 $E(3))$ 表示的一般理论，参见 19.2 和 19.3 节）。我们将表示算符在位置空间中写作 $u(\mathbf{a},\Omega )$，在动量空间中写作 $\tilde{u}(\mathbf{a},\Omega )$，其中 a 是一个平移，$\Omega \in$ $SU(2)$ 和 $R=\Phi (\Omega )\in SO(3)$

群的平移部分如同第19章的单分量情形那样，通过乘法算符作用。

$$\tilde{u}(\mathbf{a},1){\tilde{\psi }}_{E,\pm }(\mathbf{p})=e^{-i\mathbf{a}\cdot \mathbf{p}}{\tilde{\psi }}_{E,\pm }(\mathbf{p})$$

和

$$\tilde{u}(\mathbf{a},1)=e^{-i\mathbf{a}\cdot \mathbf{P}}$$

因此，李代数表示由通常的 $\mathbf{P}$ 算符给出。平移的这种作用容易看出与 $\sigma$ · $P$ 对易，因而作用于 34.6 的解。需要比单分量情形更复杂讨论的，是旋转的作用。

在第19章中我们看到，$R\in SO(3)$ 通过以下方式作用于薛定谔方程的单分量动量空间解

$${\tilde{\psi }}_E(\mathbf{p})\to \tilde{u}(0,R){\tilde{\psi }}_E(\mathbf{p})={\tilde{\psi }}_E(R^{-1}\mathbf{p})$$

这将解映为解，因为算符$\tilde{u}(0,R)$与Casimir算符$|\mathbf{P}{|}^2$对易。

$$\tilde{u}(0,R)|\mathbf{P}{|}^2=|\mathbf{P}{|}^2\tilde{u}(0,R)⟺\tilde{u}(0,R)|\mathbf{P}{|}^2\tilde{u}(0,R{)}^{-1}=|\mathbf{P}{|}^2$$

这是成立的，因为

$$\begin{array}{rl}\tilde{u}(0,R)|\mathbf{P}{|}^2\tilde{u}(0,R{)}^{-1}\tilde{\psi }(\mathbf{p})& =\tilde{u}(0,R)|\mathbf{P}{|}^2\tilde{\psi }(R\mathbf{p})\\ & =|R^{-1}\mathbf{P}{|}^2\tilde{\psi }(R^{-1}R\mathbf{p})=|\mathbf{P}{|}^2\tilde{\psi }(\mathbf{p})\end{array}$$

为了在双分量波函数上得到一个与算符 $\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{P}$ 对易的表示，我们需要将旋转的作用量改为

$${\tilde{\psi }}_{E,\pm }(\mathbf{p})\to \tilde{u}(0,\Omega ){\tilde{\psi }}_{E,\pm }(\mathbf{p})=\Omega {\tilde{\psi }}_{E,\pm }(R^{-1}\mathbf{p})$$

对于解上的这个作用量，我们有

$$\begin{array}{rl}\tilde{u}(0,\Omega )(\sigma \cdot \mathbf{P})\tilde{u}(0,\Omega {)}^{-1}{\tilde{\psi }}_{E,\pm }(\mathbf{p})& =\tilde{u}(0,\Omega )(\sigma \cdot \mathbf{P}){\Omega }^{-1}{\tilde{\psi }}_{E,\pm }(R\mathbf{p})\\ & =\Omega (\sigma \cdot R^{-1}\mathbf{P}){\Omega }^{-1}{\tilde{\psi }}_{E,\pm }(R^{-1}R\mathbf{p})\\ & =(\sigma \cdot \mathbf{P}){\tilde{\psi }}_{E,\pm }(\mathbf{p})\end{array}$$

其中我们使用了方程$6.5$来表明

$$\Omega (\mathbf{\sigma }\cdot R^{-1}\mathbf{P}){\Omega }^{-1}=\mathbf{\sigma }\cdot R{R}^{-1}\mathbf{P}=\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{P}$$

$SU(2)$ 群的部分通过两个对易的不同作用在张量积 34.2 的两个因子上以乘积方式作用。这些是：

1. 对动量坐标的作用与单分量情形相同，只是使用 $R=\Phi (\Omega )$，即对应于 $SU(2)$ 群元素 Ω 的 $SO(3)$ 旋转。例如，对于绕 $x$ 轴旋转角度 $\varphi$，我们有

$${\tilde{\psi }}_{E,\pm }(\mathbf{p})\to {\tilde{\psi }}_{E,\pm }(R(\varphi ,{\mathbf{e}}_1{)}^{-1}\mathbf{p})$$

回想一下，实现这一操作的算符是 $e^{-i\varphi L_1}$，其中

$$-i{L}_1=-i(Q_2{P}_3-Q_3{P}_2)=-\left(q_2\frac{\partial }{\partial q_3}-q_3\frac{\partial }{\partial q_2}\right)$$

一般地，我们有算符

$$-i\mathbf{L}=-i\mathbf{Q}\times \mathbf{P}$$

它给出了该表示的李代数版本（回想一下，在李代数层面，$SO(3)$ 与 $Spin(3)$ 是同构的）。

2. 矩阵 $\Omega \in SU(2)$ 对双分量波函数的作用通过

$${\tilde{\psi }}_{E,\pm }(\mathbf{p})\to \Omega {\tilde{\psi }}_{E,\pm }(\mathbf{p})$$

对于 $R$ 为绕 $x$ 轴旋转角度 $\varphi$ 的旋转，Ω 的一种选择是

$$\Omega =e^{-i\varphi \frac{{\sigma }_1}{2}}$$

而提供该表示的李代数版本的算符是 1

$$-i\mathbf{S}=-i\frac{1}{2}\sigma$$

对应于这些变换在张量积的两个因子上作用的李代数表示，按通常方式（见第9章）由分别作用于每个因子的算符之和给出

$$-i\mathbf{J}=-i(\mathbf{L}+\mathbf{S})$$

标准术语将$L$称为“轨道”角动量，将$S$称为“自旋”角动量，将$J$称为“总”角动量。

此情形下的第二卡西米尔算符为

$J$ · $P$

与单分量情形一样（见 19.3 节），直接计算表明，其中 $L$ · $P$ 部分对我们的解 ${\tilde{\psi }}_{E,\pm }(\mathbf{p})$ 的作用是平凡的。自旋分量的作用非平凡，并且我们有

$$(\mathbf{J}\cdot \mathbf{P}){\tilde{\psi }}_{E,\pm }(\mathbf{p})=(\frac{1}{2}\sigma \cdot \mathbf{p}){\tilde{\psi }}_{E,\pm }(\mathbf{p})=\pm \frac{1}{2}|\mathbf{p}|{\tilde{\psi }}_{E,\pm }(\mathbf{p})$$

因此我们看到，我们的解具有螺旋度（J · $P$ 的特征值除以 $|\mathbf{P}{|}^2)$ 的特征值的平方根，其值为 $\pm \frac{1}{2}.$，这与第 19 章中讨论的整数螺旋度值相反，那里出现的是 $E(3\overline{)}$ 而不是它的双重覆盖。因此，解空间 ${\tilde{\psi }}_{E,\pm }(\mathbf{p})$ 上的这两个表示就是第 19.3 节中描述的 $E(3)$ 表示，即由稳定子群 SO(2) 的螺旋度 $\pm \frac{1}{2}$ 表示标记的那些表示。

对于方程 34.6 的任一符号，其解由 ${\mathbf{C}}^2$ 的一维子空间给出，且对每个 $\mathbf{p},$ 都是如此，有时将它们表示如下较为方便。注意，对每个 $p$，都可以分解

$${\mathbf{C}}^2=\mathbf{C}\oplus \mathbf{C}$$

到矩阵 $\frac{\sigma \cdot \mathbf{p}}{|\mathbf{p}|}$ 的 ± 特征子空间中。在 7.5 节关于布洛赫球的讨论中，我们明确发现（见方程 7.6）

$$u_{+}(\mathbf{p})=\frac{1}{\sqrt{2(1+p_3)}}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1+p_3}{p_1+i{p}_2}\right)\text{\hspace{1em}(34.7)}$$

给出 $\frac{\sigma \cdot \mathbf{p}}{|\mathbf{p}|}$ 的 + 特征子空间的一个归一化元素，该元素满足

$$\Omega u_{+}(\mathbf{p})=u_{+}(R\mathbf{p})$$

类似地，我们看到

$$u_{-}(\mathbf{p})=\frac{1}{\sqrt{2(1+p_3)}}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-(p_1-i{p}_2)}{1+p_3}\right)\text{\hspace{1em}(34.8)}$$

为−特征子空间提供了这样一个元素。

构造此类元素的另一种方法是使用投影算符。这些算符

$$P_{\pm }(\mathbf{p})=\frac{1}{2}(1\pm \frac{\sigma \cdot \mathbf{p}}{|\mathbf{p}|})$$

给出到这两个空间上的投影算符，因为容易验证

$$P_{+}^2=P_{+},P_{-}^2=P_{-},P_{+}{P}_{-}=P_{-}{P}_{+}=0,P_{+}+P_{-}=1$$

现在解可以写成

$${\tilde{\psi }}_{E,\pm }(\mathbf{p})={\alpha }_{E,\pm }(\mathbf{p})u_{\pm }(\mathbf{p})\text{\hspace{1em}(34.9)}$$

对于球面 $|\mathbf{p}|=\sqrt{2mE}$ 上的任意函数 ${\alpha }_{E,\pm }(\mathbf{p})$，其中此语境下的 $u_{\pm }(\mathbf{p})$ 称为“自旋极化向量”。然而，以这种方式表示解涉及一个微妙之处。回顾第 7.5 节，$u_{+}(\mathbf{p})$ 在 $p_3=-1$ 处不连续（对于 $u_{-}(\mathbf{p}))$ 同样如此，并且 $\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{p}$ 的任何单位长度特征向量都必须在某处具有这样的不连续性。如果 ${\alpha }_{E,\pm }(\mathbf{p})$ 在 $p_3=-1$ 处有一个零点，则乘积 ${\tilde{\psi }}_{E,\pm }(\mathbf{p})$ 可以是连续的。一个基本的拓扑事实仍然是，组合 ${\tilde{\psi }}_{E,\pm }(\mathbf{p})$ 必须有一个零点，否则它将不得不不连续。如果这个零点位于 $p_3=-1$，我们对 $u_{\pm }(\mathbf{p})$ 的选择效果很好，但如果它位于别处，人们可能想要做出不同的选择。最终，需要检查所计算出的物理量是否独立于这类选择。

牢记上述微妙之处，可以使用$u_{\pm }(\mathbf{p})$将能量为$E$的泡利方程34.3的任意解写成

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }_1(\mathbf{q},t)}{{\psi }_2(\mathbf{q},t)}\right)=e^{-iEt}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }_1(\mathbf{q})}{{\psi }_2(\mathbf{q})}\right)$$

其中

$$\begin{array}{rl}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }_1(\mathbf{q})}{{\psi }_2(\mathbf{q})}\right)& =\frac{1}{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}\delta (|\mathbf{p}{|}^2-2mE)({\tilde{\psi }}_{E,+}(\mathbf{p})+{\tilde{\psi }}_{E,-}(\mathbf{p}))e^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}}{d}^3\mathbf{p}\\ & =\frac{1}{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}\delta (|\mathbf{p}{|}^2-2mE)({\alpha }_{E,+}(\mathbf{p})u_{+}(\mathbf{p})+{\alpha }_{E,-}(\mathbf{p})u_{-}(\mathbf{p}))e^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}}{d}^3\mathbf{p}\end{array}\text{\hspace{1em}(34.10)}$$

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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