38.2 内部对称性

38.2 内部对称性

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 群在集合上的作用

由于相空间 ${\mathcal{H}}_1$ 是复函数的空间，存在一个显然的群在该空间上酉作用：即函数复值的相位变换群 $U(1)$。这种在空间坐标上平凡作用、但在 $\psi (x)$ 的值上非平凡作用的群作用称为“内部对称性”。如果场 $\psi$ 具有多个分量，取值于 ${\mathbf{C}}^n$，则会有更大群 $U(n)$ 的酉作用。

38.2.1 U(1) 对称性

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值 · 不可约表示 · 圆群 U(1)

在第2章中我们看到，$U(1)$ 的不可约表示由整数标记这一事实，正是“量子化”这一术语的由来：由于量子态是该群的表示，它们分解为由整数刻画的状态，而这些整数计数“量子”的数目。在非相对论量子场论中，这个整数将是总粒子数。这样的理论可以被看作具有无穷多自由度的谐振子，而总粒子数就是对所有自由度求和得到的总占据数。

考虑由下式给出的、作用在域$\Psi (x),\overline{\Psi }(x)$上的$U(1)$作用量

$$\Psi (x)\to e^{-i\theta }\Psi (x),\overline{\Psi }(x)\to e^{i\theta }\overline{\Psi }(x)\text{\hspace{1em}(38.1)}$$

这是对 24.2 节中所讨论情形的无限维推广，其中回忆一下，矩映射为 $\mu =\overline{z}z$，并且

$$\{z\overline{z},\overline{z}\}=i\overline{z}\{z\overline{z},z\}=-iz$$

对于将作为$z\overline{z}:$的量子化的酉算符，存在两种可能的选择

$$z\overline{z}\to -\frac{i}{2}(a^{†}a+a{a}^{†})$$

这将具有特征值 $-i(n+\frac{1}{2}),n=0,1,2\dots$

$$z\overline{z}\to -i{a}^{†}a$$

这是正规序形式，其特征值为 −in。

无论选择哪一种，我们都得到一个数算符

$$N=\frac{1}{2}(a^{†}a+a{a}^{†}),\mathrm{or}N=\frac{1}{2}:(a^{†}a+a{a}^{†}):=a^{†}a$$

在两种情况下，我们都有

$$[N,a]=-a,[N,a^{†}]=a^{†}$$

因此

$$e^{i\theta N}a{e}^{-i\theta N}=e^{-i\theta }a,e^{i\theta N}{a}^{†}{e}^{-i\theta N}=e^{i\theta }{a}^{†}$$

无论选择哪个$N$，都会在算符上给出相同的作用量。然而，在态上，只有正规有序的那个才具有所期望的性质，即

$$N|0⟩=0,e^{iN\theta }|0⟩=|0⟩$$

由于我们现在想要处理域，将无穷多个这样的振子自由度相加，我们将需要正规排序版本，以便不会得到 $\propto \cdot :\frac{1}{2}$ 作为真空态的数特征值。

我们现在按照 38.1 和 $\mathrm{get}$ 中所述，在动量空间中推广该表达式

$$\hat{N}={\int }_{-\infty }^{+\infty }{a}^{†}(p)a(p)dp\text{\hspace{1em}(38.2)}$$

这正是第36章已经讨论过的数算符。回顾36.3节，这种算符乘积需要某种解释才能赋予其良定义的意义，或者作为有限维定义的极限，或者通过给出分布解释。

变换到位置空间后，人们可以使用 $\hat{\Psi }(x),{\hat{\Psi }}^{†}(x)$ 而不是 $a(p),a^{†}(p)$，并发现

$$\hat{N}={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\hat{\Psi }}^{†}(x)\hat{\Psi }(x)dx\text{\hspace{1em}(38.3)}$$

${\hat{\Psi }}^{†}(x)\hat{\Psi }(x)$ 可以解释为一个算符值分布，其物理解释为测量 $x$ 处的数密度。在域算符上，$\hat{N}$ 满足

$$[\hat{N},\hat{\Psi }]=-\hat{\Psi },[\hat{N},{\hat{\Psi }}^{†}]={\hat{\Psi }}^{†}$$

因此，$\hat{\Psi }$ 通过将 $\hat{N}$ 的特征值减一作用于态，而 ${\hat{\Psi }}^{†}$ 通过将 $\stackrel{\approx }{N}$ 的特征值加一作用于态。取指数给出

$$e^{i\theta \hat{N}}\hat{\Psi }{e}^{-i\theta \hat{N}}=e^{-i\theta }\hat{\Psi },e^{i\theta \hat{N}}{\hat{\Psi }}^{†}{e}^{-i\theta \hat{N}}=e^{i\theta }{\hat{\Psi }}^{†}$$

它们是我们在讨论开始时所用的相空间坐标上 $U(1)$ 作用量的量子化版本（见方程 38.1）。

$\hat{N}$ 的一个重要且可直接验证的性质是：

$$[\hat{N},\hat{H}]=\left[\hat{N},{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\hat{\Psi }}^{†}(x)\frac{-1}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\hat{\Psi }(x)dx\right]=0$$

这意味着粒子数是守恒量：如果我们从一个具有确定粒子数的态出发，该粒子数将保持不变。注意，这一守恒律的起源在于 $\hat{N}$ 是复值场 $\Psi$ 上相位变换的 $U(1)$ 对称性的量子化生成元。如果我们从 ${\mathcal{H}}_1$ 上的任意哈密顿函数 $h$ 出发，且该函数在 $U(1)$ 下不变（即由 $\Psi$ 与 $\overline{\Psi }\mathrm{s})$ 数目相等的项构成），那么对于这样的理论，$\hat{N}$ 将与 $\hat{H}$ 对易，粒子数将守恒。

38.2.2 U(n) 对称性

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 伴随算子 · 李代数 · 李代数表示 · 酉表示 · 不可约表示 · 对称群 · 李括号

通过取取值于${\mathbf{C}}^n$的场，或等价地，取$n$种不同的复值场${\Psi }_j,j=1,2,\dots ,n.$，可以容易地构造出内部对称群比$U(1)$更大的量子场论。取哈密顿算子为

$$h={\int }_{-\infty }^{+\infty }\sum _{j=1}^n{\Psi }_j(x)\frac{-1}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}{\overline{\Psi }}_j(x)dx\text{\hspace{1em}(38.4)}$$

给出一个哈密顿算子，它不仅在下 $U(1)$ 相位变换下不变，而且在变换下也不变

$$\left(\begin{array}{c}{\Psi }_1\\ {\Psi }_2\\ ⋮\\ {\Psi }_n\end{array}\right)\to U\left(\begin{array}{c}{\Psi }_1\\ {\Psi }_2\\ ⋮\\ {\Psi }_n\end{array}\right)$$

其中 $U$ 是一个 $n$ 乘 $n$ 的酉矩阵。泊松括号将为

$$\{{\Psi }_j(x),{\overline{\Psi }}_k(x^{\prime })\}=i\delta (x-x^{\prime }){\delta }_{jk}$$

并且在这些由$U\in U(n)$所表示的变换下也是不变的

与$U(1)$情形一样，我们首先考虑$p$或$x$取某一特定值的情形，此时相空间为${\mathbf{C}}^n$，坐标为$z_j,{\bar{z}}_j$。正如我们在25.2节中所见，对于$j=1,\dots ,n,k=1,\dots ,n$，$n^2$个二次组合$z_j{\overline{z}}_k$将推广在$n=1$情形中由zz所扮演的角色，其泊松括号关系恰好是李代数$\mathfrak{u}(n)$的李括号关系（或者，考虑所有复线性组合，$\mathfrak{gl}(n,\mathbf{C}))$。

量子化后，这些二次组合成为满足 $a_j,a_j^{†}$ 的湮灭算符和产生算符的二次组合

$$[a_j,a_k^{†}]={\delta }_{jk}$$

回忆（定理 25.2），对于 $n$ 乘 $n$ 矩阵 $X$ 和 $Y$

$$\left[\sum _{j,k=1}^n{a}_j^{†}{X}_{jk}{a}_k,\sum _{j,k=1}^n{a}_j^{†}{Y}_{jk}{a}_k\right]=\sum _{j,k=1}^n{a}_j^{†}[X,Y{]}_{jk}{a}_k$$

$\mathrm{So}$，对于李代数$\mathfrak{gl}(n,\mathbf{C})$中的每个$X$，量子化将给出$\mathfrak{gl}(n,\mathbf{C})$的一个表示，其中$X$作为算符作用

$$\sum _{j,k=1}^n{a}_j^{†}{X}_{jk}{a}_k$$

当矩阵 $X$ 被选为伴随斜的 $(X_{jk}=-\overline{X_{kj}})$ 时，这一构造将给出 $\mathfrak{u}(n)$ 的一个酉表示

如同 $U(1)$ 情形，通过在动量空间中对 $a(p),a^{†}(p)$ 的二次组合进行积分，或在位形空间中对场算符 $\hat{\Psi }(x),{\hat{\Psi }}^{†}(x)$ 进行积分，人们就在量子场论中得到一个算符，并对每个 $X\in$ $\mathfrak{u}(n)$ 求得一个算符

$$\hat{X}={\int }_{-\infty }^{+\infty }\sum _{j,k=1}^n{\hat{\Psi }}_j^{†}(x)X_{jk}{\hat{\Psi }}_k(x)dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }\sum _{j,k=1}^n{a}_j^{†}(p)X_{jk}{a}_k(p)dp\text{\hspace{1em}(38.5)}$$

这满足

$$[\hat{X},\hat{Y}]=\widehat{[X,Y]}\text{\hspace{1em}(38.6)}$$

并且，作用于算符

$$[\hat{X},{\hat{\Psi }}_j(x)]=-\sum _{k=1}^n{X}_{jk}{\hat{\Psi }}_k(x),[\hat{X},{\hat{\Psi }}_j^{†}(x)]=\sum _{k=1}^n{X}_{kj}{\hat{\Psi }}_k^{†}(x)\text{\hspace{1em}(38.7)}$$

$\hat{X}$ 在多粒子态空间上给出 $\mathfrak{u}(n)$ 的一个李代数表示。取指数之后，该表示取

$$e^X\in U(n)\to U(e^X)=e^{\hat{X}}=e^{{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\sum }_{b,c=1}^n{\hat{\Psi }}_j^{†}(x)X_{jk}{\hat{\Psi }}_k(x)dx}$$

上述算符 $\hat{X}$ 的构造，是通过量子化矩映射函数来创建李代数表示这一标准方法的一个无限维例子。在此情形下，薛定谔方程解空间上的二次矩映射函数是

$${\mu }_X=i{\int }_{-\infty }^{+\infty }\sum _{j,k=1}^n{\Psi }_j(x)X_{jk}{\overline{\Psi }}_k(x)dx$$

它（推广了定理 25.1 的有限维情形）满足泊松括号关系

$$\{{\mu }_X,{\mu }_Y\}={\mu }_{[X,Y]}$$ $$\{{\mu }_X,{\overline{\Psi }}_j(x)\}=-X_{jk}{\overline{\Psi }}_j(x),\{{\mu }_X,{\Psi }_j(x)\}=X_{kj}{\Psi }_k(x)$$

量子化后，这些关系成为算符关系 38.6 和 38.7。注意，${\mu }_X$ 的表达式中的因子 $i$ 是为了使其对于 $X\in$ $\mathfrak{u}(n)$ 成为实函数。对此进行量子化将给出一个自伴算符，因此乘以 −$i$ 使 $\hat{X}$ 的表达式成为斜伴随的，从而是一个酉李代数表示。

当如方程 $38.4,$ 的自由粒子情形那样，哈密顿算子在域 ${\Psi }_j,{\overline{\Psi }}_j$ 的 $U(n)$ 变换下不变时，我们将有

$$[\hat{X},\hat{H}]=0$$

多粒子态空间中的能量本征态将分解为$U(n)$的不可约表示，并可据此标记。

上一节：38.1 在 H₁ 上的酉变换 · 下一节：38.3 空间对称性 · English version

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 404、405、406、407、408、409、410、411、412、413、414、415、416

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：944936b50f1debc035a04675c184a65cd33cba3ab5d01ffb5e963bdd51051a07

译稿产物 SHA-256：c6bc66c29b87da04c05b089285a971fd314fafe11158fca96c79742ec163c997

机翻模型：deepseek-v4.1-flash