39.3 反常与Schwinger项

39.3 反常与Schwinger项

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 李代数表示 · 群表示 · 酉表示

上述论证为当$d$趋于∞时形如39.1的算符存在良定义的对易子提供了一些动机，从而也为$S{p}_{res}$的无限维李代数${\mathfrak{sp}}_{res}$存在一个元plectic表示的类似物提供了动机。然而，这个论证有一个明显的问题，即虽然它告诉我们正规序算符将具有良定义的对易关系，但由于额外标量项的出现，它们并不完全是正确的对易关系。

$$-\frac{1}{2}tr(B{C}^{†}-C{B}^{†})1$$

这一项有时被称为“Schwinger项”。

Schwinger项给一个标准预期带来了问题：给定某个保持泊松括号作用于相空间的群$G$，人们应当得到$G$在量子态空间$H$上的一个酉表示。这个问题有时被称为“反常”，意思是所预期的李代数酉表示不存在（由于对易关系中的额外标量项）。回顾15.3节，这一潜在问题在经典层面就已经可见，其事实是：给定$L\in \mathfrak{g}.$，相应的矩映射${\mu }_L$仅在一个常数范围内有定义。而对于我们所研究的有限维情形，可以选择这些常数，使得该映射

$$L\to {\mu }_L$$

一个李代数同态，但对于 $\mathfrak{g}={\mathfrak{sp}}_{res}(\mathrm{or}{\mathfrak{so}}_{res})$ 作用于无限维相空间的情形，这一点不再成立。因此，反常的潜在问题在经典层面就已可见，但只有当人们构造量子理论并因而在状态空间上构造一个表示时，才能看出该问题是否无法通过表示算符的常数平移来消除。这种情况尽管起源于经典，有时却被刻画为一种由量子化程序导致的对称性破缺形式。

注意，对于与复结构对易的 $G$ 来说，这个问题不会出现，因为对于这些对象，正规序李代数表示算符将是 $\mathfrak{u}(\infty )\subset {\mathfrak{sp}}_{res}$ 的一个真实表示。我们将把与 $J_0$ 精确对易、而不仅仅是在模 Hilbert-Schmidt 算符意义下对易的元素构成的子群称为 $U(\infty )\subset S{p}_{res}$。结果表明，在我们所关注的大多数情形中都有 $G\subset U(\infty )$，从而允许通过湮灭算符与产生算符的正规序二次组合来构造李代数表示（如 25.6 中那样）。还要注意，由于正规序只是将算符平移一个与常数成比例的量，当这个常数有限时就不会出现反常，因为可以通过对正规序算符作这样的有限平移来得到具有正确对易子的算符。反常本质上是一个无限维问题，因为只有在这种情况下才需要无限平移。当反常确实出现时，它将表现为群表示算符中的相位模糊性（而不仅仅是 Sp(2d, $R$) 的有限维情形中那样的符号模糊性），并且 $H$ 将是该群的一个射影表示（一个在相位意义下的表示）。

这样一个未定的相位因子只会对作用在态上的作用造成问题，而不会对作用在算符上的作用造成问题。回忆在有限维情形中，$Sp(2d,\mathbf{R})$ 对算符的作用（见 20.3）与李代数表示算符中的任何常数平移无关。等价地，若在态上有一个酉的射影表示，则相位不确定性在通过共轭给出的对算符的作用中会抵消掉。

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来源版本：2025-10-20

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