39.5 高阶算符与重整化
概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值 · 李代数 · 李代数表示
我们通常只限于考虑海森堡李代数的基元素（有限维情形下为位置与动量，无限维情形下为场）的阶小于或等于二的乘积，因为正是这些乘积在量子化之后具有李代数表示中算符的解释。在有限维情形下，可以考虑算符的更高阶乘积，例如哈密顿算符的阶高于二次的系统。与二次情形不同，通常不存在特征向量和特征值的精确解，但可能有各种近似方法可用。特别地，对于二次加上一个含小参数项的哈密顿算子，可以使用微扰论方法计算关于该小参数的幂级数近似。这是物理学中的一个重要主题，标准教科书中已有详细论述。
无限维系统量子化的标准做法是首先进行“正则化”，以某种方式修改系统使其仅具有有限维相空间，例如通过引入截断使可能的动量离散且有限。人们通过将态空间和正则对易关系取为海森堡李代数所独有的那些来量子化这一理论，并以某种方式处理相互作用情形（非二次哈密顿算子）中的计算困难。
随后人们尝试取一个能够恢复无限维系统的极限。这样的极限通常是相当奇异的，会导致无限的结果，而处理这些潜在无穷大的过程被称为“重正化”。以能够导致一致且物理上合理的结果的方式取这类极限的技术，通常占据标准量子场论教科书的大部分内容。对于许多理论，人们不知道有任何适当的此类技术，并且猜测也不可能存在任何此类技术。对于另一些理论，有很好的证据表明这样的极限可以被成功取到，但如何做到这一点的细节仍然未知，例如，对于杨-米尔斯规范理论的情形，为严格证明这是可能的而提供了 $1 百万美元的千禧年奖（此情形中的哈密顿算子将在第 46 章讨论）。
来源与版本
正文：中文 · 机器译稿 · 待校对
核对状态：机器译稿 · 待校对
原书 PDF · 印刷页 417、418、419、420、421、422、423、424
来源版本：2025-10-20
来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837
OCR 来源 SHA-256：7b0cff22b2ddfeedc38c46d2647fc64b1a1312f6e8c747e5fa894ab65083ccee
译稿产物 SHA-256：dac13baf7633fdb3b603845be294cbc9b514c2409bfa0426829b38ca9fa1c6b1
机翻模型：deepseek-v4.1-flash