46.4 库仑规范中的量子化

46.4 库仑规范中的量子化

处理与时间无关的规范变换的另一种方法是施加一个附加的规范条件。对于任何满足时间规范条件 $A_0=0$ 的矢势，都可以找到一个规范变换，使得变换后的矢势满足：

定义（库仑规范）

若 $\nabla \cdot \mathbf{A}=0$，则称矢势 $A_{\mu }$ 处于库仑规范。

为了看出这是可能的，注意在规范变换下，有

$$\nabla \cdot \mathbf{A}\to \nabla \cdot \mathbf{A}+{\nabla }^2\phi$$

因此，如果我们能找到以下方程的一个解，这样的规范变换就会将矢势置于库仑规范中

$${\nabla }^2\phi =-\nabla \cdot \mathbf{A}\text{\hspace{1em}(46.13)}$$

使用像 12.7 节那样的格林函数方法，可以求解关于 $\phi$ 的这个方程，结果为

$$\phi (\mathbf{x})=\frac{1}{4\pi }{\int }_{{\mathbf{R}}^3}\frac{1}{|\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }|}(\nabla \cdot \mathbf{A}({\mathbf{x}}^{\prime }))d^3{\mathbf{x}}^{\prime }$$

由于在时间规范中

$$\nabla \cdot \mathbf{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \mathbf{A}$$

库仑规范条件自动意味着高斯定律（46.4）成立。因此，我们可以取满足两个条件 $A_0=0,\nabla \cdot \mathbf{A}=0$ 的麦克斯韦方程组的解作为相空间，其相空间坐标为满足约束 $\nabla \cdot \mathbf{A}=0,\nabla \cdot \mathbf{E}=0$ 的对 $(\mathbf{A}(\mathbf{x}),-\mathbf{E}(\mathbf{x}))$

在库仑规范中，不是自动满足的那个麦克斯韦方程（46.3），用矢势表示时

$$-\frac{{\partial }^2\mathbf{A}}{\partial t^2}=\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})$$

利用向量微积分恒等式

$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{A})-{\nabla }^2\mathbf{A}$$

以及库仑规范条件，这便成为波动方程

$$\left(\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-{\nabla }^2\right)\mathbf{A}=0\text{\hspace{1em}(46.14)}$$

这不过是质量为$m=0$的真实克莱因-戈尔登方程的三份拷贝，尽管它还需要由库仑规范条件来补充。

可以完全按照克莱因-戈尔登情形进行，利用傅里叶变换将解等同于动量空间上的函数，并用湮灭算符和产生算符进行量子化。动量空间解由傅里叶变换 ${\tilde{A}}_j(\mathbf{p})$ 给出，而经典解可以通过将标量场情形的方程 43.8 作简单推广，用这些解来表示。

$$A_j(t,\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi {)}^{3/2}}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}({\alpha }_j(\mathbf{p})e^{-i{\omega }_{\mathbf{p}}t}{e}^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}+{\overline{\alpha }}_j(\mathbf{p})e^{i{\omega }_{\mathbf{p}}t}{e}^{-i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}})\frac{d^3\mathbf{p}}{\sqrt{2{\omega }_{\mathbf{p}}}}\text{\hspace{1em}(46.15)}$$

其中

$${\alpha }_j(\mathbf{p})=\frac{{\tilde{A}}_{j,+}(\mathbf{p})}{\sqrt{2{\omega }_{\mathbf{p}}}},{\overline{\alpha }}_j(\mathbf{p})=\frac{{\tilde{A}}_{j,-}(-\mathbf{p})}{\sqrt{2{\omega }_{\mathbf{p}}}}$$

这里 ${\omega }_{\mathbf{p}}=|\mathbf{p}|;$，而 $\begin{array}{r}{\tilde{A}}_{j,+},{\tilde{A}}_{j,}\end{array}$ ₋ 是 46.14 的正能量解与负能量解的傅里叶变换。

三个分量${\alpha }_j(\mathbf{p})$构成一个向量值函数$\alpha (\mathbf{p})$。解必须满足库仑规范条件$\nabla \cdot \mathbf{A}=0$，其在动量空间中为

$$\mathbf{p}\cdot \mathbf{\alpha }(\mathbf{p})=0\text{\hspace{1em}(46.16)}$$

对于每个 $\mathbf{p},$ 的值，其解空间将是二维的，并且我们可以选取某个正交标准基

$${ϵ}_1(\mathbf{p}),{ϵ}_2(\mathbf{p})$$

此类解（连续地这样做存在拓扑障碍，但连续选择并非必要）。这里，对于$\sigma =1$、2，${ϵ}_{\sigma }(\mathbf{p})\in {\mathbf{R}}^3$被称为“偏振向量”，并满足

$$\mathbf{p}\cdot {\mathbf{ϵ}}_1(\mathbf{p})=\mathbf{p}\cdot {\mathbf{ϵ}}_2(\mathbf{p})=0,{\mathbf{ϵ}}_1(\mathbf{p})\cdot {\mathbf{ϵ}}_2(\mathbf{p})=0,|{\mathbf{ϵ}}_1(\mathbf{p}){|}^2=|{\mathbf{ϵ}}_2(\mathbf{p}){|}^2=1$$

它们提供了球面半径为 |$p$| 时点 $p$ 处切空间的一个正交标准基。

图 46.1：动量空间中一点 $p$ 处的偏振向量。

因此，解空间是无质量Klein-Gordon情形解空间的两份拷贝。光子理论的量子场则是

$$\begin{array}{rlr}& & \hat{\mathbf{A}}(t,\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi {)}^{3/2}}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}{\sum }_{\sigma =1,2}({ϵ}_{\sigma }(\mathbf{p})a_{\sigma }(\mathbf{p})e^{-i{\omega }_{\mathbf{p}}t}{e}^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}\\ & & +{ϵ}_{\sigma }(\mathbf{p})a_{\sigma }^{†}(\mathbf{p})e^{i{\omega }_{\mathbf{p}}t}{e}^{-i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}})\frac{d^3\mathbf{p}}{\sqrt{2{\omega }_{\mathbf{p}}}}\end{array}\text{\hspace{1em}(46.17)}$$

其中 $a_{\sigma },a_{\sigma }^{†}$ 是满足以下关系的湮灭算符和产生算符

$$[a_{\sigma }(\mathbf{p}),a_{{\sigma }^{\prime }}^{†}({\mathbf{p}}^{\prime })]={\delta }_{\sigma {\sigma }^{\prime }}{\delta }^3(\mathbf{p}-{\mathbf{p}}^{\prime })$$

理论的状态空间将描述对于每个动量值 $p$（称为光子）的任意数量的粒子，遵循能量-动量关系 ${\omega }_{\mathbf{p}}=|\mathbf{p}|$，并具有描述其极化的二维自由度。

注意这里出现了如下问题：与标量域情形（方程43.8）中傅里叶系数是不受约束的函数不同，这里的系数满足一个条件（方程46.16），并且${\alpha }_j(\mathbf{p})$不能简单地量子化为每个$j.$的独立湮灭算符。求解方程46.16并通过引入极化向量${ϵ}_{\sigma }$来减少自由度数涉及任意选择，并且使得该理论在洛伦兹群作用下的性质更难理解。狄拉克方程解的类似问题将出现在第47章。

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来源版本：2025-10-20

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