舒尔引理 (Schur’s lemma)

按作者与版本查阅

以下按已登记位置排列。出现顺序、原文引用与已登记依赖分别展示；最早位置不代表全书首次定义。

Szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e

已登记出处中的最早位置：§4.4 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§4.4	zh-CN · 英文上下文	定理入口
§4.4	en · 中文上下文	定理入口

来源短摘录与定位

§4.4 · zh-CN · translation · unreviewed

定理 4.6 · 舒尔引理 (Schur’s lemma)

（舒尔引理）设 $T_1:G\to GL(V_1)$ 与 $T_2:G\to GL(V_2)$ 是群 $G$ 的两个不可约表示，且 $A:V_1\to V_2$ 是一个交织算符，使得

$$T_2(g)A=A{T}_1(g)\text{ for all }g\in G.$$

于是 $A=0$ 或 $A$ 是同构，此时这两个表示等价，$T_1\sim T_2$

证明

设 $v\in$ $\ker$ $A\subseteq V_1$。则

$$A{T}_1(g)v=T_2(g)Av=0$$

因此 $T_1(g)v\in$ $\ker$ $A$。于是 $\ker$ $A$ 是表示 $T_1$ 的不变子空间。由于 $T_1$ 是不可约表示，我们有或者 $\ker$ $A=V_1$，此时 $A=0_i$，或者 $\ker$ $A=\{0\}$。在后一种情形中，$A$ 是一对一的。为表明它是同构，只需表明它是满射。这由以下事实推出：$\mathrm{im}$ $A\subset V_2$ 是表示 $T_2$ 的不变子空间

$$T_2(g)(\mathrm{im}A)=T_2(g)A\left(V_1\right)=A{T}_1(g)\left(V_1\right)\subseteq A\left(V_1\right)=\mathrm{im}A.$$

由于 $T_2$ 是不可约表示，我们有 $\mathrm{im}$ $A=\{0\}$ 或 $\mathrm{im}$ $A=V_2$ 。在第一种情形中 $A=0$ ，而在第二种情形中 $A$ 是满射。舒尔引理得证。

§4.4 · en · original_transcription · unreviewed

Theorem 4.6 · Schur’s lemma

(Schur’s lemma) Let $T_1:G\to GL(V_1)$ and $T_2:G\to GL(V_2)$ be two irreducible representations of a group $G$, and $A:V_1\to V_2$ an intertwining operator such that

$$T_2(g)A=A{T}_1(g)\text{ for all }g\in G.$$

Then either $A=0$ or $A$ is an isomorphism, in which case the two representations are equivalent, $T_1\sim T_2$

Proof

Let $v\in$ $\ker$ $A\subseteq V_1$ . Then

$$A{T}_1(g)v=T_2(g)Av=0$$

so that $T_1(g)v\in$ $\ker$ $A$. Hence $\ker$ $A$ is an invariant subspace of the representation $T_1$ . As $T_1$ is an irreducible representation we have that either $\ker$ $A=V_1$ , in which case $A=0_i$ or $\ker$ $A=\{0\}$ . In the latter case $A$ is one-to-one. To show it is an isomorphism it is only necessary to show that it is onto. This follows from the fact that $\mathrm{im}$ $A\subset V_2$ is an invarian subspace of the representation $T_2$

$$T_2(g)(\mathrm{im}A)=T_2(g)A\left(V_1\right)=A{T}_1(g)\left(V_1\right)\subseteq A\left(V_1\right)=\mathrm{im}A.$$

Since $T_2$ is an irreducible representation we have either $\mathrm{im}$ $A=\{0\}$ or $\mathrm{im}$ $A=V_2$ . In the first case $A=0$ , while in the second $A$ is onto. Schur’s lemma is proved.

Woit · 2025-10-20

已登记出处中的最早位置：§2.1 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§2.1	zh-CN · 英文上下文	术语出现；位于定理入口环境中
§2.1	en · 中文上下文	术语出现；位于定理入口环境中

来源短摘录与定位

§2.1 · zh-CN · translation · unreviewed

定理 · 舒尔引理(Schur’s lemma)

定理（舒尔引理）。若复表示 $(\pi ,V)$ 不可约，则与所有 $\pi (g)$ 交换的线性映射 $M:V\to V$ 只有 $\lambda 1$，即乘以标量 $\lambda \in \mathbf{C}$。

§2.1 · en · original_transcription · ai-transcription-compared

Theorem · Schur’s lemma

Theorem (Schur’s lemma). If a complex representation $(\pi ,V)$ is irreducible, then the only linear maps $M:V\to V$ commuting with all the $\pi (g)$ are $\lambda 1$, multiplication by a scalar $\lambda \in \mathbf{C}$.

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• href=“#theorem-4-6”
• href=“#theorem-4-6”

来源覆盖、定位与记录

索引保留所有已登记出处，不受模型材料包八小节限额影响。中英上下文按已登记的书、版次与小节配对，不冒充另一语言的概念定义。没有穷尽全书未标记的术语；程序校验不提升原著或译文审阅资格。

登记位置 4；当前可定位出现 4。

永久身份：urn:uuid:023d3b84-da9a-4667-8674-d5b9ccbed948。

身份历史 · 结构化来源索引