莫比乌斯变换 (Möbius transformation)

别名：Möbius transformations

按作者与版本查阅

以下按已登记位置排列。出现顺序、原文引用与已登记依赖分别展示；最早位置不代表全书首次定义。

Szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e

已登记出处中的最早位置：§2.5 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§2.5	zh-CN · 英文上下文	术语出现

来源短摘录与定位

§2.5 · zh-CN · translation · unreviewed

习题 2.16

莫比乌斯变换(Möbius transformation)是复映射

$$z\mapsto z^{\prime }=\frac{az+b}{cz+d},a,b,c,d\in \mathbb{C},ad-bc=1.$$

(a) 证明这些映射是扩充复平面（包含点 $z=\infty$）上的一一到上变换，并写出分别由常数 $(a,b,c,d)$ 和 $(a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime },d^{\prime })$ 确定的任意两个变换的复合。

(b) 证明它们组成一个群，称为莫比乌斯群(Möbius group)。

(c) 证明把幺模矩阵 $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ 映到上述莫比乌斯变换的映射 $\mu$，是从 $SL(2,\mathbb{C})$ 到莫比乌斯群的同态，其核为 $\{\mathsf{I},-\mathsf{I}\}$。也就是说，莫比乌斯群同构于 $SL(2,\mathbb{C})/{\mathbb{Z}}_2$。

Woit · 2025-10-20

已登记出处中的最早位置：§7.4 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§7.4	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§7.4	en · 中文上下文	术语出现

来源短摘录与定位

§7.4 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

若矩阵行列式非零，相应变换便可逆。这些保角变换称为莫比乌斯变换(Möbius transformation)。在第 40 章中，我们会看到这种群作用(group action)出现在狭义相对论中；它对球面的作用可以理解为对光线空间的变换。当矩阵属于 $SU(2)$ 时，其元素满足 $\gamma =-\overline{\beta }$、$\delta =\overline{\alpha }$ 以及 $|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$。此时球面上的对应变换就是 ${\mathbf{R}}^3$ 中球面的旋转。这也从另一角度说明 $SU(2)=\mathrm{Spin}(3)$ 是旋转群 $SO(3)$ 的双覆盖。

§7.4 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

If the matrix has nonzero determinant, the transformation is invertible. These are conformal (angle-preserving) transformations of the complex plane called Möbius transformations. In Chapter 40, we will see this group action in special relativity, where its action on the sphere can be understood as a transformation of the space of light rays. For a matrix in $SU(2)$, the entries satisfy $\gamma =-\overline{\beta }$, $\delta =\overline{\alpha }$, and $|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$. The corresponding transformation rotates the sphere in ${\mathbf{R}}^3$, giving another way to understand $SU(2)=\mathrm{Spin}(3)$ as the double cover of $SO(3)$.

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• href=“#problem-2-16”
• [第 40 章](../chapter-40/index#section-40)
• [Chapter 40](../chapter-40/index#section-40)

来源覆盖、定位与记录

索引保留所有已登记出处，不受模型材料包八小节限额影响。中英上下文按已登记的书、版次与小节配对，不冒充另一语言的概念定义。没有穷尽全书未标记的术语；程序校验不提升原著或译文审阅资格。

登记位置 3；当前可定位出现 3。

永久身份：urn:uuid:6328536c-e4a4-4277-b275-0a8a7146d152。

身份历史 · 结构化来源索引