球极投影 (stereographic projection)

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Woit · 2025-10-20

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来源短摘录与定位

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$\mathbf{C}{P}^1$ 与其说是“复平面加一个点”，不如看作一个球面，通常称为黎曼球面(Riemann sphere)。球面与复平面及无穷远点之间的关系由球极投影(stereographic projection)给出：从球面北极向球面上各点作直线，并将这些直线投到平面，可在去掉北极的球面与整个平面之间建立一一对应。北极代表无穷远点，因此 $\mathbf{C}{P}^1$ 可与 $S^2$ 等同。示意图如下。

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$\mathbf{C}{P}^1$ is better viewed as a sphere, often called the Riemann sphere, rather than as a plane with one extra point. The sphere is related to the plane and its point at infinity by stereographic projection. Projecting each point of the sphere from the north pole onto the plane gives a one-to-one correspondence between the plane and the sphere with the north pole removed. The north pole represents the point at infinity, so $\mathbf{C}{P}^1$ is identified with $S^2$. The picture is shown below.

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图 7.3：通过球极投影(stereographic projection)得到 $\mathbf{C}{P}^1\setminus \{\infty \}$ 上的复坐标。

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Figure 7.3: Complex coordinates on $\mathbf{C}{P}^1\setminus \{\infty \}$ via stereographic projection.

来源覆盖、定位与记录

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