9.4 主丛

9.4.1 定义

主丛的纤维 $F$ 与结构群 $G$ 相同。主丛 $P\stackrel{\pi }{\to }M$ 也记作 $P(M,G)$，常称为 $M$ 上的 $G$ 丛。

过渡函数和以前一样从左侧作用于纤维。此外，我们还可以定义 $G$ 在 $F$ 上的右作用。设 ${\varphi }_i:U_i\times G\to {\pi }^{-1}(U_i)$ 是由 ${\varphi }_i^{-1}(u)=(p,g_i)$ 给出的局部平凡化，其中 $u\in {\pi }^{-1}(U_i)$，$p=\pi (u)$。$G$ 在 ${\pi }^{-1}(U_i)$ 上的右作用定义为 ${\varphi }_i^{-1}(ua)=(p,g_{i}a)$，即（图 9.8），

图 9.8. $G$ 在 $P$ 上的右作用。

$$ua={\varphi }_i(p,g_{i}a)\text{\hspace{1em}(9.41)}$$

其中 $a\in G$，$u\in {\pi }^{-1}(p)$。由于右作用与左作用可交换，这一定义与局部平凡化的选取无关。事实上，若 $p\in U_i\cap U_j$，

$$ua={\varphi }_j(p,g_{j}a)={\varphi }_j(p,t_{ji}(p)g_{i}a)={\varphi }_i(p,g_{i}a).$$

则右乘无需借助局部平凡化即可定义。它记作 $P\times G\to P$ 或 $(u,a)\mapsto ua$。注意 $\pi (ua)=\pi (u)$。$G$ 在 ${\pi }^{-1}(p)$ 上的右作用是传递的，因为 $G$ 从右侧传递地作用于 $G$，而 $F_p={\pi }^{-1}(p)$ 与 $G$ 微分同胚。因此，对任意

$u_1,u_2\in {\pi }^{-1}(p)$，则存在 $G$ 中的元素 $a$ 使得 $u_1=u_{2}a$。于是，若 $\pi (u)=p$，我们便可把整个纤维构造为 ${\pi }^{-1}(p)=\{ua|a\in G\}$。该作用还是自由的：若对某个 $u\in P$ 有 $ua=u$，则 $a$ 必为 $G$ 的单位元 $e$。事实上，若 $u={\varphi }_i(p,g_i)$，就有 ${\varphi }_i(p,g_{i}a)={\varphi }_i(p,g_i)a=ua=u={\varphi }_i(p,g_i)$。由于 ${\varphi }_i$ 是双射的，必有 $g_{i}a=g_i$，即 $a=e$。

给定 $U_i$ 上的一个截面 $s_1(p)$，我们如下定义一个优选的局部平凡化 ${\varphi }_i:U_i\times G\to {\pi }^{-1}(U_i)$。对 $u\in {\pi }^{-1}(p)$、$p\in U_i$，存在唯一的元素 $g_u\in G$ 使得 $u=s_i(p)g_u$。于是我们由 ${\varphi }_i^{-1}(u)=(p,g_u)$ 来定义 ${\varphi }_i$。在这一局部平凡化下，截面 $s_i(p)$ 表示为

$$s_i(p)={\varphi }_i(p,e).\text{\hspace{1em}(9.42)}$$

这一局部平凡化称为典范局部平凡化(canonical local trivialization)。按定义有 ${\varphi }_i(p,g)={\varphi }_i(p,e)g=s_i(p)g$。若 $p\in U_i\cap U_j$，则两个截面 $s_i(p)$ 与 $s_j(p)$ 通过过渡函数 $t_{ij}(p)$ 相联系，如下所示

$$\begin{array}{rl}{s}_i(p)& ={\varphi }_i(p,e)={\varphi }_j(p,t_{ji}(p)e)={\varphi }_j(p,t_{ji}(p))\\ & ={\varphi }_j(p,e)t_{ji}(p)=s_j(p)t_{ji}(p).\end{array}\text{\hspace{1em}(9.43)}$$

例 9.7

设 $P$ 是以 $\mathrm{U}(1)=S^1$ 为纤维、以 $S^2$ 为底空间的主丛。这个主丛给出了磁单极子（1.9 节）的拓扑背景。设 $\{U_{\mathrm{N}},U_{\mathrm{S}}\}$ 是 $S^2$ 的一个开覆盖，其中 $U_{\mathrm{N}}(U_{\mathrm{S}})$ 分别为北半球（南半球）。若用通常的极角来参数化 $S^2$，则有

$$\begin{array}{rl}& U_{\mathrm{N}}=\left\{\left(\theta ,\varphi \right)\mid 0\le \theta \le \pi /2+\epsilon ,0\le \varphi <2\pi \right\}\\ & U_S=\left\{\left(\theta ,\varphi \right)\mid \pi /2-\epsilon \le \theta \le \pi ,0\le \varphi <2\pi \right\}.\end{array}$$

交集 $U_{\mathrm{N}}\cap U_{\mathrm{S}}$ 是一条带，实质上就是赤道。设 ${\varphi }_{\mathrm{N}}$ 与 ${\varphi }_{\mathrm{S}}$ 为局部平凡化，使得

$${\varphi }_{\mathrm{N}}^{-1}(u)=\left(p,{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\alpha }_{\mathrm{N}}}\right){\varphi }_{\mathrm{S}}^{-1}(u)=\left(p,{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\alpha }_{\mathrm{S}}}\right)\text{\hspace{1em}(9.44)}$$

其中 $p=\pi (u)$。取形如 ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}n\varphi }$ 的过渡函数 $t_{\mathrm{NS}}(p)$，其中 $n$ 必须是整数，才能使 $t_{\mathrm{NS}}(p)$ 在赤道上被唯一地定义。由于 $t_{\mathrm{NS}}$ 把赤道 $S^1$ 映到 $\mathrm{U}(1)$，这个整数刻画了同伦群 ${\pi }_1(\mathrm{U}(1))=\mathbb{Z}$。纤维坐标 ${\alpha }_{\mathrm{N}}$ 与 ${\alpha }_{\mathrm{S}}$ 在赤道上满足如下关系：

$${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\alpha }_{\mathrm{N}}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}n\varphi }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\alpha }_{\mathrm{S}}}.\text{\hspace{1em}(9.45)}$$

若 $n=0$，则过渡函数是 $\mathrm{U}(1)$ 的单位元，此时得到平凡丛 $P_0=S^2\times S^1$。若 $n\ne 0$，则 $\mathrm{U}(1)$-丛 $P_n$ 是扭曲的。值得注意的是，纤维丛的拓扑结构竟由一个整数刻画。这个整数刻画了两个局部截面在赤道处如何粘合起来。因此，该整数对应于同伦群 ${\pi }_1(\mathrm{U}(1))=\mathbb{Z}$ 中的一个元素。

由于 $\mathrm{U}(1)$ 是阿贝尔群，右作用与左作用是等价的。在右作用 $g={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\Lambda }$ 下，有

$${\varphi }_{\mathrm{N}}^{-1}(ug)=\left(p,{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left({\alpha }_{\mathrm{N}}+\Lambda \right)}\right)\text{\hspace{1em}(9.46a)}$$

$${\varphi }_{\mathrm{S}}^{-1}(ug)=\left(p,{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left({\alpha }_{\mathrm{S}}+\Lambda \right)}\right).\text{\hspace{1em}(9.46b)}$$

右作用对应于 U(1) 规范变换。

例 9.8

若把欧几里得空间 ${\mathbb{R}}^m$ 的所有无穷远点等同起来，就得到单点紧致化 $S^m={\mathbb{R}}^m\cup \{\infty \}$。若在 ${\mathbb{R}}^m$ 上定义了一个平凡的 $G$ 纤维丛，则紧致化之后我们将在 $S^m$ 上得到一个新的 $G$ 纤维丛，而它未必是平凡的。设 $P$ 是由 ${\mathbb{R}}^4$ 经单点紧致化而得到的 $S^4$ 上的 $\mathrm{SU}(2)$ 纤维丛。这个主丛表示一个 $\mathrm{SU}(2)$ 瞬子（1.10 节）。引入 $S^4$ 的一个开覆盖 $\{U_{\mathrm{N}},U_{\mathrm{S}}\}$，

$$\begin{array}{rl}& U_{\mathrm{N}}=\left\{(x,y,z,t)\mid x^2+y^2+z^2+t^2\le R^2+\epsilon \right\}\\ & U_{\mathrm{S}}=\left\{\left(x,y,z,t\right)\mid R^2-\epsilon \le x^2+y^2+z^2+t^2\right\}\end{array}$$

其中 $R$ 是正常数，$\epsilon$ 是无穷小正数。细窄的交集 $U_{\mathrm{N}}\cap U_{\mathrm{S}}$ 实质上就是 $S^3$。设 $t_{\mathrm{NS}}(p)$ 为在 $p\in U_{\mathrm{N}}\cap U_{\mathrm{S}}$ 处定义的过渡函数。由于 $t_{\mathrm{NS}}$ 把 $S^3$ 映到 $\mathrm{SU}(2)$，故它由 ${\pi }_3(\mathrm{SU}(2))=\mathbb{Z}$ 分类。刻画该丛的整数称为瞬子数(instanton number)。若取 $t_{\mathrm{NS}}(p)$ 为单位元 $e\in \mathrm{SU}(2)$，则得到平凡丛 $P_0=S^3\times \mathrm{SU}(2)$，它对应于同伦类 0。非平凡丛可如下得到。首先注意到 $\mathrm{SU}(2)\cong S^3$（例 4.12）。元素 $A\in \mathrm{SU}(2)$ 可写成

$$A=\left(\begin{array}{cc}u& v\\ -\bar{v}& \bar{u}\end{array}\right)$$

其中 $|u{|}^2+|v{|}^2=1$。把 $u$ 与 $v$ 分离为 $u=t+\mathrm{i}z$ 和 $v=y+\mathrm{i}x$，便得到 $t^2+x^2+y^2+z^2=1$。于是 SU(2) 可看作单位球面 $S^3$，而 ${\pi }_3(\mathrm{SU}(2))\cong {\pi }_3(S^3)\cong \mathbb{Z}$ 对从 $S^3$ 到 SU(2) $\cong S^3$ 的映射进行分类。恒等映射 $f:S^3\to S^3\cong \mathrm{SU}(2)$ 为

$$\begin{array}{rl}& f(x,y,z,t)\mapsto \left(\begin{array}{cc}t+\mathrm{i}z& y+\mathrm{i}x\\ -y+\mathrm{i}x& t-\mathrm{i}z\end{array}\right)\\ & =t{I}_2+\mathrm{i}\left(x{\sigma }_x+y{\sigma }_y+z{\sigma }_z\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(9.47)}$$

其中 $I_2$ 是 $2\times 2$ 单位矩阵，${\sigma }_{\mu }$ 是泡利矩阵。取一点 $p=(x,y,z,t)\in U_{\mathrm{N}}\cap U_{\mathrm{S}}$。若 $R=(x^2+y^2+z^2+t^2{)}^{1/2}$ 表示 $p$ 的径向距离，则向量 $(x/R,y/R,z/R,t/R)$ 具有单位长度。我们把 $\mathrm{SU}(2)$ 的一个元素赋给点 $p$ 如下：

$$t_{\mathrm{NS}}(p)=\frac{1}{R}\left(t{I}_2+\mathrm{i}\sum _i{x}^i{\sigma }_i\right).\text{\hspace{1em}(9.48)}$$

设 ${\varphi }_{\mathrm{N}}$ 与 ${\varphi }_{\mathrm{S}}$ 为局部平凡化，

$${\varphi }_{\mathrm{N}}^{-1}(u)=\left(p,g_{\mathrm{N}}\right){\varphi }_{\mathrm{S}}^{-1}(u)=\left(p,g_{\mathrm{S}}\right)\text{\hspace{1em}(9.49)}$$

其中 $p=\pi (u)$，且 $g_{\mathrm{N}},g_{\mathrm{S}}\in \mathrm{SU}(2)$。在 $U_{\mathrm{N}}\cap U_{\mathrm{S}}$ 上有

$$g_{\mathrm{N}}=\frac{1}{R}\left(t{I}_2+\mathrm{i}\sum _i{x}^i{\sigma }_i\right)g_{\mathrm{S}}.\text{\hspace{1em}(9.50)}$$

当 $(t,x)$ 扫过 $S^3$ 一次时，$t_{\mathrm{NS}}(p)$ 也扫过 $\mathrm{SU}(2)$ 一次，因此该丛对应于 ${\pi }_3(\mathrm{SU}(2))$ 的同伦类 1。不难看出，对应于同伦类 $n$ 的过渡函数由下式给出：

$$t_{\mathrm{NS}}(p)=\frac{1}{R^n}{\left(t1+\mathrm{i}\sum _i{x}^i{\sigma }_i\right)}^n.\text{\hspace{1em}(9.51)}$$

为了继续研究磁单极子与瞬子，我们必须引入纤维丛上的联络（即规范势）。我们将在下一章回到这些课题。

例 9.9

Hopf 已证明 $S^3$ 是 $S^2$ 上的一个U(1) 丛。嵌入 ${\mathbb{R}}^4$ 中的三维球面可表示为

$$(x^1{)}^2+(x^2{)}^2+(x^3{)}^2+(x^4{)}^2=1.$$

若引入 $z^0=x^1+\mathrm{i}{x}^2$ 与 $z^1=x^3+\mathrm{i}{x}^4$，上式便成为

$${\left|z^0\right|}^2+{\left|z^1\right|}^2=1.\text{\hspace{1em}(9.52)}$$

我们把 $S^2$ 参数化为

$$({\xi }^1{)}^2+({\xi }^2{)}^2+({\xi }^3{)}^2=1.$$

Hopf 映射 $\pi :S^3\to S^2$ 定义为

$${\xi }^1=2\left(x^1{x}^3+x^2{x}^4\right)\text{\hspace{1em}(9.53a)}$$

$${\xi }^2=2\left(x^2{x}^3-x^1{x}^4\right)\text{\hspace{1em}(9.53b)}$$

$${\xi }^3=(x^1{)}^2+(x^2{)}^2-(x^3{)}^2-(x^4{)}^2.\text{\hspace{1em}(9.53c)}$$

容易验证 $\pi$ 把 $S^3$ 映到 $S^2$，因为

$$({\xi }^1{)}^2+({\xi }^2{)}^2+({\xi }^3{)}^2=[(x^1{)}^2+(x^2{)}^2+(x^3{)}^2+(x^4{)}^2{]}^2=1.$$

设 $(X,Y)$ 为 $S^2$ 的南半球 $U_{\mathrm{S}}$ 中一点由北极作球极投影所得的坐标。若取一个包含 $S^2$ 赤道的复平面，则 $Z=X+\mathrm{i}Y$ 位于单位圆之内。我们在例 8.1中已得到（图 9.9）

图 9.9　球面 $S^2$ 的球极坐标。$(X,Y)$ 是相对于从北极的投影定义的，而 $(U,V)$ 则是相对于从南极的投影定义的。

$$Z=\frac{{\xi }^1+\mathrm{i}{\xi }^2}{1-{\xi }^3}=\frac{x^1+\mathrm{i}{x}^2}{x^3+\mathrm{i}{x}^4}=\frac{z^0}{z^1}(\xi \in U_{\mathrm{S}}).\text{\hspace{1em}(9.54a)}$$

注意 $Z$ 在下述变换下不变：

$$\left(z^0,z^1\right)\mapsto \left(\lambda z^0,\lambda z^1\right)$$

其中 $\lambda \in \mathrm{U}(1)$。由于 $|\lambda |=1$，点 $(\lambda z^0,\lambda z^1)$ 也位于 $S^3$ 中。北半球 $U_{\mathrm{N}}$ 由南极投影所得的球极坐标 $(U,V)$ 为

$$W=U+\mathrm{i}V=\frac{{\xi }^1-\mathrm{i}{\xi }^2}{1+{\xi }^3}=\frac{x^3+\mathrm{i}{x}^4}{x^1+\mathrm{i}{x}^2}=\frac{z^1}{z^0}(\xi \in U_{\mathrm{N}}).\text{\hspace{1em}(9.54b)}$$

注意在赤道 $U_{\mathrm{N}}\cap U_{\mathrm{S}}$ 上有 $Z=1/W$。

该纤维丛的结构如下给出。我们先定义局部平凡化 ${\varphi }_{\mathbf{S}}^{-1}:{\pi }^{-1}(U_{\mathbf{S}})\to U_{\mathbf{S}}\times \mathrm{U}(1)$ 为

$$\left(z^0,z^1\right)\mapsto \left(z^0/z^1,z^1/\left|z^1\right|\right)\text{\hspace{1em}(9.55a)}$$

以及 ${\varphi }_{\mathrm{N}}^{-1}:{\pi }^{-1}(U_{\mathrm{N}})\to U_{\mathrm{N}}\times \mathrm{U}(1)$ 为

$$\left(z^0,z^1\right)\mapsto \left(z^1/z^0,z^0/\left|z^0\right|\right).\text{\hspace{1em}(9.55b)}$$

注意这些局部平凡化在各自的坐标卡上都是良定义的。例如，在 $U_{\mathrm{N}}$ 上有 $z^0\ne 0$，因此 $z^1/z^0=U+\mathrm{i}V$ 与 $z^0/|z^0|$ 都非奇异。在赤道 ${\xi }^3=0$ 上，有 $|z^0|=|z^1|=1/\sqrt{2}$。于是赤道上的局部平凡化为

$${\varphi }_S^{-1}:\left(z^0,z^1\right)\mapsto \left(z^0/z^1,\sqrt{2}{z}^1\right)\text{\hspace{1em}(9.56a)}$$

以及

$${\varphi }_{\mathrm{N}}^{-1}:\left(z^0,z^1\right)\mapsto \left(z^1/z^0,\sqrt{2}{z}^0\right).\text{\hspace{1em}(9.56b)}$$

赤道上的过渡函数为

$$t_{\mathrm{NS}}(\xi )=\frac{\sqrt{2}{z}^0}{\sqrt{2}{z}^1}={\xi }^1+\mathrm{i}{\xi }^2\in \mathrm{U}(1).\text{\hspace{1em}(9.57)}$$

若沿赤道绕行一周，$t_{\mathrm{NS}}(\xi )$ 便在复平面中绕单位圆一周，因此 U(1) 丛 $S^3\stackrel{\pi }{\to }{S}^2$ 由 ${\pi }_1(\mathrm{U}(1))=\mathbb{Z}$ 的同伦类 1 刻画。Trautman（1977）、Minami（1979）与 Ryder（1980）指出，单位强度的磁单极子由 Hopf 映射 $S^3\stackrel{\pi }{\to }{S}^2$ 描述。

Hopf 映射还可以从稍有不同的角度来理解。我们把 $S^3$ 看作一个复一维球面

$$S_{\mathbb{C}}^1=\{(z^0,z^1)\in {\mathbb{C}}^2||z^0{|}^2+|z^1{|}^2=1\}.$$

定义映射 $\pi :S_{\mathbb{C}}^1\to {\mathbb{CP}}^1$ 为

$$\left(z^0,z^1\right)\mapsto \left[\left(z^0,z^1\right)\right]=\left\{\lambda \left(z^0,z^1\right)\mid \lambda \in \mathbb{C}-\{0\}\right\}.\text{\hspace{1em}(9.58)}$$

在此映射下，$S^3$ 中形如 $\lambda (z^0,z^1)$（$|\lambda |=1$）的点都被映到 ${\mathbb{CP}}^1=S^2$ 的同一个点。这正是前面得到的 Hopf 映射 $\pi :S^3\to S^2$。这一做法容易推广到四元数代数 $\mathbb{H}$ 的情形。四元数代数由下述乘法表定义：

$$\begin{array}{rl}& i^2=j^2=k^2=-1ij=-ji=k\\ & jk=-kj=iki=-ik=j.\end{array}$$

$\mathbb{H}$ 的任意元素可写成

$$q=t+ix+jy+kz.$$

显然，单位四元数 $|q|=(t^2+x^2+y^2+z^2{)}^{1/2}=1$ 表示 $S^3\cong \mathrm{SU}(2)$。四元数一维球面为

$$S_{\mathbb{H}}^1=\left\{\left(q^0,q^1\right)\in {\mathbb{H}}^2\mid {\left|q^0\right|}^2+{\left|q^1\right|}^2=1\right\}\text{\hspace{1em}(9.59)}$$

它表示 $S^7$。此时 Hopf 映射取如下形式：

$$\pi :S_{\mathbb{H}}^1\to \mathbb{H}{P}^1\text{\hspace{1em}(9.60)}$$

其中 $\mathbb{H}{P}^1$ 是四元数射影空间，其元素为

$$[(q^0,q^1)]=\{\eta (q^0,q^1)\in {\mathbb{H}}^2|\eta \in \mathbb{H}-\{0\}\}.\text{\hspace{1em}(9.61)}$$

$S^7$ 中满足 $|\eta |=1$ 的点在此映射下都被映到 $\mathbb{H}{P}^1=S^4$ 的同一个点，于是得到 Hopf 映射

$$\pi :S^7\to S^4.\text{\hspace{1em}(9.62)}$$

其纤维是单位四元数 $S^3=\mathrm{SU}(2)$。由 Hopf 映射定义的过渡函数属于 ${\pi }_3(\mathrm{SU}(2))\cong \mathbb{Z}$ 的类 1。单位强度的瞬子就是用这个 Hopf 映射来描述的。

八元数定义了 Hopf 映射 $\pi :S^{15}\to S^8$。它与其他 Hopf 映射的不同之处在于，其纤维 $S^7$ 并不是真正的群。迄今为止，我们还没有在物理学中找到这一映射的应用。¹

例 9.10

设 $H$ 是李群 $G$ 的闭李子群。我们来证明 $G$ 是以 $H$ 为纤维、以 $M=G/H$ 为底空间的主丛。用 $g\mapsto ga$（$g\in G$，$a\in H$）定义 $H$ 在 $G$ 上的右作用。由于 $G$ 是李群，该右作用是可微的。用映射 $\pi :g\mapsto [g]=\{gh|h\in H\}$ 定义投影映射 $\pi :G\to M=G/H$。显然，$g,ga\in G$ 被映到同一点 $[g]$，因此 $\pi (g)=\pi (ga)(=[g])$。为定义局部平凡化，我们需要在每个坐标卡 $U_i$ 上定义一个映射 $f_i:G\to H$。设 $s$ 是 $U_i$ 上的局部截面，且 $g\in {\pi }^{-1}([g])$。用 $f_i(g)=s([g]{)}^{-1}g$ 定义 $f_i$。由于 $s([g])$ 是 $[g]$ 处的截面，它可以写成 $ga$ 的形式，其中 $a\in H$，相应地有 $s([g]{)}^{-1}g=a^{-1}{g}^{-1}g=a^{-1}\in H$。于是我们如下定义局部平凡化 ${\varphi }_i:U_i\times H\to G$：

$${\varphi }_i^{-1}(g)=([g],f_i(g)).\text{\hspace{1em}(9.63)}$$

容易看出 $f_i(ga)=f_i(g)a$（$a\in H$），因此 ${\varphi }_i^{-1}(ga)=(p,f_i(g)a)$ 成立。有用的例子有（见例 5.18）

$$\mathrm{O}(n)/\mathrm{O}(n-1)=\mathrm{SO}(n)/\mathrm{SO}(n-1)=S^{n-1}\text{\hspace{1em}(9.64)}$$

$$\mathrm{U}(n)/\mathrm{U}(n-1)=\mathrm{SU}(n)/\mathrm{SU}(n-1)=S^{2n-1}.\text{\hspace{1em}(9.65)}$$

9.4.2 伴随丛

给定一个主丛 $P(M,G)$，我们可以如下构造一个伴随纤维丛。设 $G$ 左作用于一个流形 $F$ 上。用下式定义 $g\in G$ 在 $P\times F$ 上的作用：

$$(u,f)\to (ug,g^{-1}f)\text{\hspace{1em}(9.66)}$$

其中 $u\in P$，$f\in F$。于是伴随纤维丛(associated fibre bundle) $(E,\pi ,M,G,F,P)$ 就是等价类 $P\times F/G$，其中两点 $(u,f)$ 与 $(ug,g^{-1}f)$ 被等同起来。

我们来考虑 $F$ 是 $k$ 维向量空间 $V$ 的情形。设 $\rho$ 是 $G$ 的 $k$ 维群表示。把 $P\times V$ 中的点 $(u,v)$ 与 $(ug,\rho (g{)}^{-1}v)$ 等同起来，就定义了伴随向量丛(associated vector bundle) $P{\times }_{\rho }V$，其中 $u\in P,g\in G$，$v\in V$。例如，与 $P(M,\mathrm{GL}(k,\mathbb{R}))$ 相伴的是 $M$ 上一个以 ${\mathbb{R}}^k$ 为纤维的向量丛。伴随向量丛 $E=P{\times }_{\rho }V$ 的纤维丛结构如下给出。投影映射 ${\pi }_E:E\to M$ 由 ${\pi }_E(u,v)=\pi (u)$ 定义。由于 $\pi (u)=\pi (ug)$ 蕴含 ${\pi }_E(ug,\rho (g{)}^{-1}v)=\pi (ug)={\pi }_E(u,v)$，该投影映射是良定义的。局部平凡化由 ${\psi }_i:U_i\times V\to {\pi }_E^{-1}(U_i)$ 给出。$E$ 的过渡函数由 $\rho (t_{ij}(p))$ 给出，其中 $t_{ij}(p)$ 是 $P$ 的过渡函数。

反过来，一个向量丛也自然地诱导出与之相伴的主丛。设 $E\stackrel{\pi }{\to }M$ 是一个维数为 $\dim E=k$ 的向量丛（即其纤维为 ${\mathbb{R}}^k$ 或 ${\mathbb{C}}^k$）。于是 $E$ 通过采用相同的过渡函数诱导出 $M$ 上的一个主丛 $P(E)\equiv P(M,G)$。其结构群 $G$ 为 $\mathrm{GL}(k,\mathbb{R})$ 或 $\mathrm{GL}(k,\mathbb{C})$。我们按照9.1 节中所述的重构过程，具体构造出 $P(E)$。

例 9.11

与 $m$ 维流形 $M$ 上的切丛 $TM$ 相伴的是一个主丛，称为标架丛(frame bundle) $LM\equiv {\bigcup }_{p\in M}{L}_{p}M$，其中 $L_{p}M$ 是 $p$ 处的标架的集合。我们在坐标卡 $U_i$ 上引入坐标 $x^{\mu }$。丛 $T_{p}M$ 在 $U_i$ 上具有自然基 $\{\partial /\partial x^{\mu }\}$。$p$ 处的一个标架 $u=\{X_1,\dots ,X_m\}$ 可表示为

$$X_{\alpha }=X_{\alpha }^{\mu }\partial /\partial x^{\mu }{|}_{p}1\le \alpha \le m\text{\hspace{1em}(9.67)}$$

其中 $(X_{\alpha }^{\mu })$ 是 $\mathrm{GL}(m,\mathbb{R})$ 中的一个元素，从而 $\{X_{\alpha }\}$ 线性无关。我们通过 ${\varphi }_i^{-1}(u)=(p,(X_{\alpha }^{\mu }))$ 来定义局部平凡化 ${\varphi }_i:U_i\times \mathrm{GL}(m,\mathbb{R})\to {\pi }^{-1}(U_i)$。$LM$ 的丛结构定义如下。

(i) 若 $u=\{X_1,\dots ,X_m\}$ 是 $p$ 处的一个标架，则定义 ${\pi }_L:LM\to M$ 为 ${\pi }_L(u)=p$。
(ii) $a=(a_j^i)\in \mathrm{GL}(m,\mathbb{R})$ 对标架 $u=\{X_1,\dots ,X_m\}$ 的作用由 $(u,a)\mapsto ua$ 给出，其中 $ua$ 是 $p$ 处的新标架，其定义为

$$Y_{\beta }=X_{\alpha }{a}_{\beta }^{\alpha }.\text{\hspace{1em}(9.68)}$$

反之，任给标架 $\{X_{\alpha }\}$ 与 $\{Y_{\beta }\}$，总存在 $\mathrm{GL}(m,\mathbb{R})$ 中的一个元素使(9.68)成立。因此，$\mathrm{GL}(m,\mathbb{R})$ 传递地作用在 $LM$ 上。

(iii) 设 $U_i$ 与 $U_j$ 是相互重叠的坐标卡，其坐标分别为 $x^{\mu }$ 与 $y^{\mu }$。对 $p\in U_i\cap U_j$，有

$$X_{\alpha }=X_{\alpha }^{\mu }\partial /\partial x^{\mu }{|}_p={\tilde{X}}_{\alpha }^{\mu }\partial /\partial y^{\mu }{|}_p\text{\hspace{1em}(9.69)}$$

其中 $(X_{\alpha }^{\mu })$ $({\tilde{X}}_{\alpha }^{\mu })\in \mathrm{GL}(m,\mathbb{R})$。由于 $X_{\alpha }^{\mu }=(\partial x^{\mu }/\partial y^{\nu }{)}_p{\tilde{X}}_{\alpha }^{\mu }$，我们求得过渡函数 $t_{ij}^L(p)$ 为

$$t_{ij}^L(p)=\left({\left(\partial x^{\mu }/\partial y^{\nu }\right)}_p\right)\in \mathrm{GL}(m,\mathbb{R}).\text{\hspace{1em}(9.70)}$$

这样，给定 $TM$，我们就构造出了具有相同过渡函数的标架丛 $LM$。

在广义相对论中，右作用对应于局部洛伦兹变换，而左作用对应于广义坐标变换。结果表明，标架丛是容纳这些变换的最自然的框架。若通过引入度量将 $\{X_{\alpha }\}$ 归一化，则矩阵 $(X_{\alpha }^{\mu })$ 成为四元标架，而结构群约化为 $\mathrm{O}(m)$；见7.8 节。

例 9.12

$M$ 上的旋量场是旋量丛的一个截面，下面我们就来定义旋量丛。由于 $\mathrm{GL}(k,\mathbb{R})$ 没有旋量表示，我们需要引入结构群为 $\mathrm{SO}(k)$ 的正交标架丛。正如我们在例 4.12中提到的，$\mathrm{Spin}(k)$ 是 $\mathrm{SO}(k)$ 的万有覆盖群。[要定义旋量丛，我们必须检验 $\mathrm{SO}(k)$ 丛能否提升为 $M$ 上的 $\mathrm{SPIN}(k)$ 丛。这种提升的障碍将在11.6 节中讨论。]

具体地说，让我们考虑与四维洛伦兹标架丛 $LM$ 相伴的旋量丛，其中 $M$ 是一个四维洛伦兹流形。我们所关心的是具有确定的时空定向以及时间定向的标架。于是结构群约化为

$${\mathrm{O}}_{\uparrow }^{+}(3,1)\equiv \left\{\Lambda \in \mathrm{O}(3,1)\mid \det \Lambda =+1,{\Lambda }_0^0>0\right\}.\text{\hspace{1em}(9.71)}$$

${\mathrm{O}}_{\uparrow }^{+}(3,1)$ 的万有覆盖群是 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$，见例 $5.16(c)$。同态 $\phi :\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})\to O_{\uparrow }^{+}(3,1)$ 是一个 $2:1$ 映射，且 $\ker \phi =\{I_2,-I_2\}$。外尔旋量是纤维丛 $(W,\pi ,M,{\mathbb{C}}^2,\mathrm{SL}(2,\mathbb{C}))$ 的一个截面。相对论Dirac旋量则是

$$(D,\pi ,M,{\mathbb{C}}^4,\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})\oplus \overline{\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})}).\text{\hspace{1em}(9.72)}$$

$W$ 的截面是 ${\mathrm{O}}_{\uparrow }^{+}(3,1)$ 的一个 $(1/2,0)$ 群表示，而 $(\bar{W},\pi ,M,{\mathbb{C}}^2,\overline{\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})})$ 的截面是一个 $(0,1/2)$ 表示，例如可参见 Ramond (1989)。相对论Dirac旋量属于 $(1/2,0)\oplus (0,1/2)$。

旋量丛的一般结构将在11.6 节中给出。

9.4.3 丛的平凡性

若一个纤维丛能表示为底空间与纤维的直积(trivial)，则称该纤维丛是平凡的。下面的定理给出了纤维丛为平凡的条件。

定理 9.2

一个主丛是平凡的，当且仅当它存在整体截面。

证明

设 $(P,\pi ,M,G)$ 是 $M$ 上的一个主丛，并设 $s\in \Gamma (M,P)$ 是一个整体截面。利用这个截面可以证明，$P$ 与 $M\times G$ 之间存在一个同胚。若 $a$ 是 $G$ 中的元素，则乘积 $s(p)a$ 属于 $p$ 处的纤维。由于右作用是可迁且自由的，任一元素 $u\in P$ 都可唯一地写成 $s(p)a$，其中 $p\in M$，$a\in G$。定义映射 $\Phi :P\to M\times G$ 为

$$\Phi :s(p)a\mapsto (p,a).\text{\hspace{1em}(9.73)}$$

容易验证 $\Phi$ 确实是一个同胚，于是我们证明了 $P$ 是平凡丛 $M\times G$。

反之，假设 $P\cong M\times G$。设 $\varphi :M\times G\to P$ 为一个平凡化。取定一个元素 $g\in G$。则 $s_g:M\to P$ 由 $s_g(p)=\varphi (p,g)$ 定义，是一个整体截面。

对于向量丛，是否有相应的定理呢？我们知道，任何向量丛都存在一个零截面。因此，不能简单地把 定理 9.2 中的 $P$ 换成 $E$。让我们考虑 $E$ 的相伴主丛 $P(E)$。按定义，$E$ 与 $P(E)$ 具有相同的过渡函数集合。由于丛的扭结完全由过渡函数描述，我们便得到如下推论。

推论 9.2

向量丛 $E$ 是平凡的，当且仅当其相伴主丛 $P(E)$ 存在整体截面。

9.1 设 $L$ 是 $S^1$ 上的实线丛（即 $L$ 或是圆柱面 $S^1\times \mathbb{R}$，或是莫比乌斯带）。证明惠特尼和丛 $L\oplus L$ 是平凡丛。画出 $L\oplus L$ 的草图以验证这一结果。

9.2 设 ${\Omega }_n$ 是 $S^n$ 的体积元，并已归一化为 ${\int }_{S^n}{\Omega }_n=1$。设 $f:S^{2n-1}\to S^n$ 为可微映射，考虑其拉回 $f^{\ast }{\Omega }_n$。

(a) 证明 $f^{\ast }{\Omega }_n$ 是闭的，并可写成 $\mathrm{d}{\omega }_{n-1}$，其中 ${\omega }_{n-1}$ 是 $S^{2n-1}$ 上的 $(n-1)$-形式。
(b) 证明霍普夫不变量

$$H(f)\equiv {\int }_{S^{2n-1}}{\omega }_{n-1}\wedge \mathrm{d}{\omega }_{n-1}$$

与 ${\omega }_{n-1}$ 的选取无关。

(c) 证明若 $f$ 与 $g$ 同伦的，则 $H(f)=H(g)$。
(d) 证明当 $n$ 为奇数时 $H(f)=0$。[提示：利用 ${\omega }_{n-1}\wedge \mathrm{d}{\omega }_{n-1}=\frac{1}{2}\mathrm{d}({\omega }_{n-1}\wedge {\omega }_{n-1})$。]
(e) 计算例 9.9中所定义映射 $\pi :S^3\to S^2$ 的霍普夫不变量。

尾注

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Footnotes

1. 八元数又称凯莱数。八元数的集合是 $\mathbb{R}$ 上的向量空间，但不是域。其乘法既不交换也不结合。近期综述见 John C Baez, The Octonions math.RA/0105155。 ↩