8.1 复流形

首先，我们定义 ${\mathbb{C}}^m$ 上的全纯(holomorphic)（或解析）映射。复值函数 $f:{\mathbb{C}}^m\to \mathbb{C}$ 称为全纯的，是指 $f=f_1+\mathrm{i}{f}_2$ 对每个 $z^{\mu }=x^{\mu }+\mathrm{i}{y}^{\mu }$ 都满足柯西-黎曼关系，

$$\frac{\partial f_1}{\partial x^{\mu }}=\frac{\partial f_2}{\partial y^{\mu }}\frac{\partial f_2}{\partial x^{\mu }}=-\frac{\partial f_1}{\partial y^{\mu }}.\text{\hspace{1em}(8.1)}$$

若每个函数 $f^{\lambda }$ $(1\le \lambda \le n)$ 都是全纯的，则称映射 $(f^1,\dots ,f^n):{\mathbb{C}}^m\to {\mathbb{C}}^n$ 为全纯映射。

8.1.1 定义

定义 8.1 复流形

若下列公理成立，则 $M$ 称为复流形(complex manifold)：

(i) $M$ 是拓扑空间。
(ii) $M$ 上给定了若干对 $\{(U_i,{\phi }_i)\}$ 构成的一族。
(iii) $\{U_i\}$ 是一族覆盖 $M$ 的开集。映射 ${\phi }_i$ 是从 $U_i$ 到 ${\mathbb{C}}^m$ 的某个开子集 $U$ 的同胚。[因此，$M$ 是偶数维的。]
(iv) 若 $U_i$ 与 $U_j$ 满足 $U_i\cap U_j\ne \varnothing$，则从 ${\phi }_i(U_i\cap U_j)$ 到 ${\phi }_j(U_i\cap U_j)$ 的映射 ${\psi }_{ji}={\phi }_j\circ {\phi }_i^{-1}$ 是全纯的。

8

数 $m$ 称为 $M$ 的复维数，记作 ${\dim }_{\mathbb{C}}M=m$。实维数 $2m$ 记作 ${\dim }_{\mathbb{R}}M$，或简记为 $\dim M$。设 $z^{\mu }={\phi }_i(p)$ 与 $w^{\nu }={\phi }_j(p)$ 分别是点 $p\in U_i\cap U_j$ 在坐标卡 $(U_i,{\phi }_i)$ 与 $(U_j,{\phi }_j)$ 中的（复）坐标。公理 (iv) 断言函数 $w^{\nu }=u^{\nu }+\mathrm{i}{v}^{\nu }$（$1\le \nu \le m$）关于 $z^{\mu }=x^{\mu }+\mathrm{i}{y}^{\mu }$ 全纯，即

$$\frac{\partial u^v}{\partial x^v}=\frac{\partial v^v}{\partial y^v}\frac{\partial u^v}{\partial y^v}=-\frac{\partial v^v}{\partial x^v}1\le \mu ,v\le m.$$

这些公理保证复流形上的微积分运算可以独立于所选取的特殊坐标来进行。例如，${\mathbb{C}}^n$ 是最简单的复流形：单个坐标卡就覆盖了整个空间，且 $\phi$ 是恒等映射。

设 $\{(U_i,{\phi }_i)\}$ 与 $\{(V_j,{\psi }_j)\}$ 是 $M$ 的两个图册。若两个图册的并仍是一个满足定义 8.1各公理的图册，则称它们定义了同一个复结构。一个复流形可以带有若干个复结构（见例 8.2）。

8.1.2 例

例 8.1

在练习 5.1中已经证明，从北极点投影得到的点 $P(x,y,z)\in S^2-\{\text{North Pole}\}$ 的球极坐标为

$$(X,Y)=\left(\frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z}\right)$$

而从南极点投影得到的点 $P(x,y,z)\in S^2-\{\text{South Pole}\}$ 的球极坐标则为

$$(U,V)=\left(\frac{x}{1+z},\frac{-y}{1+z}\right).$$

[注意图 5.5中 $(U,V)$ 的定向。] 下面定义复坐标

$$Z=X+\mathrm{i}Y,\overline{Z}=X-\mathrm{i}Y,W=U+\mathrm{i}V,\overline{W}=U-\mathrm{i}V.$$

$W$ 是 $Z$ 的全纯函数，

$$W=\frac{x-\mathrm{i}y}{1+z}=\frac{1-z}{1+z}(X-\mathrm{i}Y)=\frac{X-\mathrm{i}Y}{X^2+Y^2}=\frac{1}{Z}.$$

因此，$S^2$ 是一个复流形，它可以等同于黎曼球面 $\mathbb{C}\cup \{\infty \}$。

例 8.2

取复平面 $\mathbb{C}$，并定义格 $L({\omega }_1,{\omega }_2)\equiv \{{\omega }_{1}m+{\omega }_{2}n|m,n\in \mathbb{Z}\}$，其中 ${\omega }_1$ 与 ${\omega }_2$ 是两个非零复数，且满足

${\omega }_2/{\omega }_1\notin \mathbb{R}$；见图 8.1。不失一般性，可以取 $\mathrm{Im}({\omega }_2/{\omega }_1)>0$。流形 $\mathbb{C}/L({\omega }_1,{\omega }_2)$ 是通过把满足 $z_1-z_2={\omega }_{1}m+{\omega }_{2}n$（对某个 $m,n\in \mathbb{Z}$）的点 $z_1,z_2\in \mathbb{C}$ 等同起来而得到的。由于图 8.1中阴影区域的对边被等同，$\mathbb{C}/L({\omega }_1,{\omega }_2)$ 同胚于环面 $T^2$。$\mathbb{C}$ 的复结构自然地诱导出 $\mathbb{C}/L({\omega }_1,{\omega }_2)$ 的复结构。我们说，数对 $({\omega }_1,{\omega }_2)$ 在 $T^2$ 上定义了一个复结构。有许多数对 $({\omega }_1,{\omega }_2)$ 在 $T^2$ 上给出相同的复结构。

图 8.1. 两个复数 ${\omega }_1$ 与 ${\omega }_2$ 在复平面中确定一个格 $L({\omega }_1,{\omega }_2)$。$\mathbb{C}/L({\omega }_1,{\omega }_2)$ 同胚于环面（阴影区域）。

数对 $({\omega }_1,{\omega }_2)$ 与 $({\omega }_1^{\prime },{\omega }_2^{\prime })$（$(\mathrm{Im}({\omega }_2/{\omega }_1)>0,\mathrm{Im}({\omega }_2^{\prime }/{\omega }_1^{\prime })>0)$）何时定义相同的复结构？我们首先注意到，两个格 $L({\omega }_1,{\omega }_2)$ 与 $L({\omega }_1^{\prime },{\omega }_2^{\prime })$ 重合，当且仅当存在一个矩阵

$$\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})\equiv \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})/{\mathbb{Z}}_2$$

使得

$$\left(\begin{array}{l}{\omega }_1^{\prime }\\ {\omega }_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{\omega }_1\\ {\omega }_2\end{array}\right).\text{\hspace{1em}(8.2)}$$

这一命题证明如下。

设

$$\left(\begin{array}{c}{\omega }_1^{\prime }\\ {\omega }_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\omega }_1\\ {\omega }_2\end{array}\right)\text{其中}\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}).$$

1 群 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 已在(2.4)中定义。在 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ 中，矩阵 $A$ 与 $-A$ 被等同。

由于 ${\omega }_1^{\prime },{\omega }_2^{\prime }\in L({\omega }_1,{\omega }_2)$，我们得到 $L({\omega }_1^{\prime },{\omega }_2^{\prime })\subset L({\omega }_1,{\omega }_2)$。由

$$\left(\begin{array}{c}{\omega }_1\\ {\omega }_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\omega }_1^{\prime }\\ {\omega }_2^{\prime }\end{array}\right)$$

我们也得到 $L({\omega }_1,{\omega }_2)\subset L({\omega }_1^{\prime },{\omega }_2^{\prime })$。因此 $L({\omega }_1,{\omega }_2)=L({\omega }_1^{\prime },{\omega }_2^{\prime })$。反之，若 $L({\omega }_1,{\omega }_2)=L({\omega }_1^{\prime },{\omega }_2^{\prime })$，且 ${\omega }_1^{\prime }$、${\omega }_2^{\prime }$ 是 $L({\omega }_1,{\omega }_2)$ 的格点，并可写成 ${\omega }_1^{\prime }=d{\omega }_1+c{\omega }_2$ 与 ${\omega }_2^{\prime }=b{\omega }_1+a{\omega }_2$，其中 $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$。又 ${\omega }_1$ 与 ${\omega }_2$ 可表示为 ${\omega }_1=d^{\prime }{\omega }_1^{\prime }+c^{\prime }{\omega }_2^{\prime }$ 与 ${\omega }_2=b^{\prime }{\omega }_1^{\prime }+a^{\prime }{\omega }_2^{\prime }$，其中 $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime },d^{\prime }\in \mathbb{Z}$。于是有

$$\left(\begin{array}{l}{\omega }_1\\ {\omega }_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}{a}^{\prime }& b^{\prime }\\ c^{\prime }& d^{\prime }\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{\omega }_1^{\prime }\\ {\omega }_2^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}{a}^{\prime }& b^{\prime }\\ c^{\prime }& d^{\prime }\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{\omega }_1\\ {\omega }_2\end{array}\right)$$

由此得到

$$\left(\begin{array}{ll}{a}^{\prime }& b^{\prime }\\ c^{\prime }& d^{\prime }\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$$

比较两边的行列式，得 $(a^{\prime }{d}^{\prime }-b^{\prime }{c}^{\prime })(ad-bc)=1$。由于所有元素都是整数，这只有在 $ad-bc=\pm 1$ 时才可能。因为

$$\mathrm{Im}\left(\frac{{\omega }_2^{\prime }}{{\omega }_1^{\prime }}\right)=\mathrm{Im}\left(\frac{b{\omega }_1+a{\omega }_2}{d{\omega }_1+c{\omega }_2}\right)=\frac{ad-bc}{|c({\omega }_2/{\omega }_1)+d{|}^2}\mathrm{Im}\left(\frac{{\omega }_2^{\prime }}{{\omega }_1^{\prime }}\right)>0$$

必须有 $ad-bc>0$，即

$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}).$$

事实上，显然

$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$$

与

$$-\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$

定义同一个格，因此我们必须把 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 中仅相差整体符号的矩阵等同起来。于是，若两个格通过 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})\equiv$ $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})/{\mathbb{Z}}_2$ 的作用相联系，则它们相同

假设存在从 $\mathbb{C}/L({\omega }_1,{\omega }_2)$ 到 $\mathbb{C}/L({\tilde{\omega }}_1,{\tilde{\omega }}_2)$ 的一一全纯映射 $h$，其中 $\mathrm{Im}({\omega }_2/{\omega }_1)>0$，$\mathrm{Im}({\tilde{\omega }}_2/{\tilde{\omega }}_1)>0$。设 $p:\mathbb{C}\to \mathbb{C}/L({\omega }_1,{\omega }_2)$ 与 $\tilde{p}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}/L({\tilde{\omega }}_1,{\tilde{\omega }}_2)$ 为自然投影。例如，$p$ 把 $\mathbb{C}$ 中的点映为 $\mathbb{C}/L({\omega }_1,{\omega }_2)$ 中的等价点。取原点 0，并定义 $h_{\ast }(0)$ 为满足 $\tilde{p}\circ h_{\ast }(0)=h\circ p(0)$（图 8.2）的点，

图 8.2. 全纯双射 $h:\mathbb{C}/L({\omega }_1,{\omega }_2)\to \mathbb{C}/L({\tilde{\omega }}_1,{\tilde{\omega }}_2)$ 与自然投影 $p:\mathbb{C}\to \mathbb{C}/L({\omega }_1,{\omega }_2)$、$\tilde{p}:\mathbb{C}\to \mathbb{C}/L({\tilde{\omega }}_1,{\tilde{\omega }}_2)$ 确定了一个全纯双射 $h_{\ast }:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$。

$$\begin{array}{ccc}\mathbb{C}& \stackrel{h_{\ast }}{\to }& \mathbb{C}\\ p\downarrow & & \downarrow \tilde{p}\\ \mathbb{C}/L\left({\omega }_1,{\omega }_2\right)& \stackrel{h}{\to }& \mathbb{C}/L\left({\tilde{\omega }}_1,{\tilde{\omega }}_2\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(8.3)}$$

于是，由原点出发作解析延拓，我们得到 $\mathbb{C}$ 到自身的一一全纯映射 $h_{\ast }$，它满足

$$\tilde{p}\circ h_{\ast }(z)=h\circ p(z)\text{对所有}z\in \mathbb{C}\text{\hspace{1em}(8.4)}$$

从而交换图 (8.3) 可交换。已知 $\mathbb{C}$ 到自身的一一全纯映射必具有 $z\to h_{\ast }(z)=az+b$ 的形式，其中 $a,b\in \mathbb{C}$ 且 $a\ne 0$。于是有 $h_{\ast }({\omega }_1)-h_{\ast }(0)=a{\omega }_1$ 与 $h_{\ast }({\omega }_2)-h_{\ast }(0)=a{\omega }_2$。要使 $h$ 作为从 $\mathbb{C}/L({\omega }_1,{\omega }_2)$ 到 $\mathbb{C}/L({\tilde{\omega }}_1,{\tilde{\omega }}_2)$ 的映射有良好定义，必须有 $a{\omega }_1,a{\omega }_2\in L({\tilde{\omega }}_1,{\tilde{\omega }}_2)$，见 图 8.2。交换 $({\omega }_1,{\omega }_2)$ 与 $({\omega }_1^{\prime },{\omega }_2^{\prime })$ 的角色，又得 $\tilde{a}{\tilde{\omega }}_1,\tilde{a}{\tilde{\omega }}_1\in L({\omega }_1,{\omega }_2)$，其中 $\tilde{a}\ne 0$ 为复数。因此我们断言：若 $\mathbb{C}/L({\omega }_1,{\omega }_2)$ 与 $\mathbb{C}/L({\tilde{\omega }}_1,{\tilde{\omega }}_2)$ 具有相同的复结构，则必存在矩阵 $M\in \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 与复数 $\lambda (={\tilde{a}}^{-1})$ 使得

$$\left(\begin{array}{c}{\tilde{\omega }}_1\\ {\tilde{\omega }}_2\end{array}\right)=\lambda M\left(\begin{array}{c}{\omega }_1\\ {\omega }_2\end{array}\right).\text{\hspace{1em}(8.5)}$$

反之，可以验证由 (8.5) 相联系的 $({\omega }_1,{\omega }_2)$ 与 $({\omega }_1^{\prime },{\omega }_2^{\prime })$ 定义相同的复结构。事实上，

$$\left(\begin{array}{c}{\omega }_1\\ {\omega }_2\end{array}\right)\text{a n d}M\left(\begin{array}{c}{\omega }_1\\ {\omega }_2\end{array}\right)$$

定义同一个格（相差平移），于是可以取 $h_{\ast }:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ 为 $z\mapsto z+b$。$L({\omega }_1,{\omega }_2)$ 与 $L(\lambda {\omega }_1,\lambda {\omega }_2)$ 也定义相同的复结构。此时我们取 $h_{\ast }:z\mapsto \lambda z+b$。

我们已经证明，$T^2$ 上的复结构由一对复数 $({\omega }_1,{\omega }_2)$ 确定，其差别只在于一个常数因子以及 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$。为消去这个常数因子，我们引入模参数 $\tau \equiv {\omega }_2/{\omega }_1\in \mathrm{H}\equiv \{z\in \mathbb{C}|\mathrm{Im}z>0\}$，用它来刻画 $T^2$ 的复结构。不失一般性，我们取 1 与 $\tau$ 作为格的生成元。然而要注意，并非所有 $\tau \in \mathrm{H}$ 都是独立的模参数。如前所示，若 $\tau$ 与 ${\tau }^{\prime }=(a\tau +b)/(c\tau +d)$ 定义相同的复结构，则

$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z}).$$

商空间 $\mathrm{H}/\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ 如图 8.3所示，其推导可参见 Koblitz (1984) 第 100 页与 Gunning (1962) 第 4 页。

图 8.3. 商空间 $H/\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$。

变换 $\tau \to {\tau }^{\prime }$ 称为模变换(modular transformation)，它由 $\tau \to \tau +1$ 与 $\tau \to -1/\tau$ 生成。变换 $\tau \to \tau +1$ 沿经线 $m$ 生成一个德恩扭转，其做法如下（图 8.4(a)）：(i) 先沿 $m$ 把环面剪开；(ii) 然后取剪口的一侧，保持另一侧不动，将其旋转 $2\pi$；(iii) 再把两侧重新粘合。另一个变换 $\tau \to -1/\tau$ 则对应于交换纬线 $l$ 与经线 $m$ 的角色（图 8.4(b)）。

(a)

(b)

图 8.4　(a) 德恩扭转生成模变换。(b) $\tau \to -1/\tau$ 交换 $l$ 与 $m$ 的角色。

例 8.3

复射影空间 ${\mathbb{CP}}^n$ 的定义与 ${\mathbb{RP}}^n$ 类似，参见例 5.4。只要 $z\ne 0$，数组 $z=(z^0,\dots ,z^n)\in {\mathbb{C}}^{n+1}$ 就确定一条过原点的复直线。定义等价关系

：若存在复数 $a\ne 0$ 使得 $w=az$，则称 $z\sim w$。于是 ${\mathbb{CP}}^n\equiv ({\mathbb{C}}^{n+1}-\{0\})/\sim$。这 $(n+1)$ 个数 $z^0,z^1,\dots ,z^n$ 称为齐次坐标(homogeneous coordinate)，记作 $[z^0,z^1,\dots ,z^n]$，其中 $(z^0,\dots ,z^n)$ 与 $(\lambda z^0,\dots ,\lambda z^n)(\lambda \ne 0)$ 视为等同。一个坐标卡 $U_{\mu }$ 是 ${\mathbb{C}}^{n+1}-\{0\}$ 的子集，满足 $z^{\mu }\ne 0$。在坐标卡 $U_{\mu }$ 中，非齐次坐标(inhomogeneous coordinate)定义为 ${\xi }_{(\mu )}^{\nu }=z^{\nu }/z^{\mu }$（$\nu \ne \mu$）。在 $U_{\mu }\cap U_{\nu }\ne \varnothing$ 中，坐标变换 ${\psi }_{\mu \nu }:{\mathbb{C}}^n\to {\mathbb{C}}^n$ 为

$${\xi }_{(\nu )}^{\lambda }\mapsto {\xi }_{(\mu )}^{\lambda }=\frac{z^{\nu }}{z\mu }{\xi }_{(\nu )}^{\lambda }.\text{\hspace{1em}(8.6)}$$

因此，${\psi }_{\mu \nu }$ 就是乘以 $z^{\nu }/z^{\mu }$，这当然是全纯的。

例 8.4

复格拉斯曼流形 $G_{k,n}(\mathbb{C})$ 的定义与实格拉斯曼流形类似，参见例 5.5。$G_{k,n}(\mathbb{C})$ 是 ${\mathbb{C}}^n$ 中所有 复 $k$ 维子空间构成的集合。注意 $\mathbb{C}{P}^n=G_{1,n+1}(\mathbb{C})$。

设 $M_{k,n}(\mathbb{C})$ 为所有秩为 $k$ 的 $k\times n$ 矩阵 构成的集合（$k\le n$）。取 $A,B\in M_{k,n}(\mathbb{C})$，并定义等价关系：若存在 $g\in \mathrm{GL}(k,\mathbb{C})$ 使得 $B=gA$，则称 $A\sim B$。我们把 $G_{k,n}(\mathbb{C})$ 与 $M_{k,n}(\mathbb{C})/\mathrm{GL}(k,\mathbb{C})$ 等同起来。设 $\{A_1,\dots ,A_l\}$ 为 $A\in M_{k,n}(\mathbb{C})$ 的全部 $k\times k$ 子式 构成的集合。我们定义坐标卡 $U_{\alpha }$ 为 $G_{k,n}(\mathbb{C})$ 中满足 $\det A_{\alpha }\ne 0$ 的子集。$U_{\alpha }$ 上的 $k(n-k)$ 个坐标由矩阵 $A_{\alpha }^{-1}A$ 的非平凡元素给出。细节参见例 5.5。

例 8.5

一组齐次多项式的公共零点构成 $\mathbb{C}{P}^n$ 的一个紧子流形，称为代数簇(algebraic variety)。例如，设 $P(z^0,\dots ,z^n)$ 是次数为 $d$ 的齐次多项式。若 $a\ne 0$ 是复数，则 $P$ 满足

$$P(a{z}^0,\dots ,a{z}^n)=a^{d}P(z^0,\dots ,z^n).$$

这表明 $P$ 的零点在 $\mathbb{C}{P}^n$ 上有定义；若 $P(z^0,\dots ,z^n)=0$，则 $P([z^0,\dots ,z^n])=0$。为确定起见，考虑

$$P(z^0,z^1,z^2)=(z^0{)}^2+(z^1{)}^2+(z^2{)}^2$$

并如下定义 $N$：

$$N=\{[z^0,z^1,z^2]\in \mathbb{C}{P}^2|P(z^0,z^1,z^2)=0\}.\text{\hspace{1em}(8.7)}$$

我们按例 8.3中的方式定义 $U_{\mu }$。在 $N\cap U_0$ 中，有

$$[{\xi }_{(0)}^1{]}^2+[{\xi }_{(0)}^2{]}^2+1=0$$

其中 ${\xi }_{(0)}^{\mu }=z^{\mu }/z^0$（注意 $z^0\ne 0$）。考虑全纯坐标变换 $({\xi }_{(0)}^1,{\xi }_{(0)}^2)\mapsto ({\eta }^1={\xi }_{(0)}^1,{\eta }^2=[{\xi }_{(0)}^1{]}^2+[{\xi }_{(0)}^2{]}^2+1)$。注意，除非 ${\xi }_{(0)}^2=z^2=0$，否则 $\partial ({\eta }^1,{\eta }^2)/\partial ({\xi }_{(0)}^1,{\xi }_{(0)}^2)\ne 0$。于是 $N\cap U_0\cap U_2=\{({\eta }^1,{\eta }^2)\in {\mathbb{C}}^2|{\eta }^2=0\}$ 显然是 ${\mathbb{C}}^2$ 的一维子流形。若 ${\xi }_{(0)}^2=z^2=0$，则有 $({\xi }_{(0)}^1,{\xi }_{(0)}^2)\mapsto ({\zeta }^1=[{\xi }_{(0)}^1{]}^2+[{\xi }_{(0)}^2{]}^2+1,{\zeta }^2={\xi }_{(0)}^2)$，其雅可比式除非 ${\xi }_{(0)}^1=z^1=0$ 否则不为零。于是 $N\cap U_0\cap U_1=\{({\zeta }^1,{\zeta }^2)\in {\mathbb{C}}^2|{\zeta }^1=0\}$ 是 ${\mathbb{C}}^2$ 的一维子流形。在 $N\cap U_0\cap U_1\cap U_2$ 上，坐标变换 ${\eta }^1\mapsto {\zeta }^2$ 是乘以 $z^2/z^1$，因而全纯。这样，我们便可定义 ${\mathbb{CP}}^2$ 的一个一维紧子流形 $N$。

复流形是可微流形。例如，通过等同 $z^{\mu }=x^{\mu }+\mathrm{i}{y}^{\mu }$（$x^{\mu },y^{\mu }\in \mathbb{R}$），可把 ${\mathbb{C}}^m$ 看作 ${\mathbb{R}}^{2m}$。类似地，复流形的任一坐标卡 $U$ 都有坐标 $(z^1,\dots ,z^m)$，它们可理解为实坐标 $(x^1,y^1,\dots ,x^m,y^m)$。坐标变换函数的解析性质保证了：当把流形看作 $2m$ 维可微流形时，这些函数是可微的。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF

来源版本：second-edition-local

来源 PDF SHA-256：fcd24c3371d092a8c699ccf5cf0765462924b6c48412804231076e8084b1940d

OCR 来源 SHA-256：0b6324f01172a3548cd34382e82fd8bfae574602b6b2cfaa357ba96bc2c35478

译稿产物 SHA-256：e9559fd544e2b2d4cb9bf9b34146adf2d6f5a37d28fa3ffc65aae666282d1bd4