§28.1 calls an algebra a ring with a scalar-field vector-space structure.
别名：algebra；associative；代数
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Szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e
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我们使用大写字母 、 等来表示向量，因为代数最常出现在向量空间 上的线性算符空间之中。然而，原则上没有什么能阻止使用更常见的记号 、. 来表示向量，并写 表示它们的乘积。向量乘积一直用向量的简单并置来表示，但根据上下文，也可能出现其他记号，例如 和 。如果对一切 . 都有 ，则称该代数为 结合代数(associative algebra)。如果对一切 、 都有 ，则称其为 交换代数(commutative algebra)。
§6.1 · en · original_transcription · unreviewed
We have used capital letters , , etc. to denote vectors because algebras most frequently arise in spaces of linear operators over a vector space . There is, however, nothing in principle to prevent the more usual notation , . for vectors and to write for their product. The vector product has been denoted by a simple juxtaposition of vectors, but other notations such as and may arise, depending upon the context. The algebra is said to be associative if for all . It is called commutative if for all ,
Woit · 2025-10-20
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在数学中，“环(ring)”是带加法和乘法的集合，这些运算满足结合律与分配律，但不一定满足交换律；“代数(algebra)”则是同时具有某个标量域上向量空间结构的环。正则对易关系与正则反对易关系分别定义了Weyl代数和Clifford代数。以复数为标量的情形最简单，我们先讨论复数情形，再讨论实数情形。
§28.1 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed
In mathematics, a “ring” is a set with associative and distributive addition and multiplication laws, not necessarily commutative. An “algebra” is a ring that is also a vector space over a field of scalars. The canonical commutation and anticommutation relations define the Weyl and Clifford algebras, respectively. We begin with complex scalars and then turn to real scalars.