6.1 代数与理想

English

一个 代数(algebra) 由一个域 $\mathbb{K}$ 上的向量空间 $\mathcal{A}$ 以及一个向量的复合律或乘积 $\mathcal{A}\times \mathcal{A}\to \mathcal{A}$ 组成，记作

$$(A,B)\mapsto AB\in \mathcal{A}(A,B\in \mathcal{A}),$$

其满足一对分配律：

$$A(aB+bC)=aAB+bAC,(aA+bB)C=aAC+bBC\text{\hspace{1em}(6.1)}$$

对所有标量 $a$、$b\in \mathbb{K}$ 和向量 $A$、$B$ 及 $C$。在式 (6.1) 的右端，诸如 $aAB$ 这样的量是 $a(AB)$ 的简写；在设定 $b=0$ 时这是允许的，由此得到恒等式 $aAB=(aA)B=A(aB)$。在第 3.2 节中已证明，对所有 $A\in \mathcal{A}$. 有 $0A=A0=O$，并需仔细注意零向量 $O$ 与零标量 0 之间的区别。因此

$$OA=(0A)A=0(AA)=O,AO=A(0A)=0AA=O.$$

我们使用大写字母 $A$、$B$ 等来表示向量，因为代数最常出现在向量空间 $V$ 上的线性算符空间之中。然而，原则上没有什么能阻止使用更常见的记号 $u$、$v,..$. 来表示向量，并写 $uv$ 表示它们的乘积。向量乘积一直用向量的简单并置来表示，但根据上下文，也可能出现其他记号，例如 $A\times B,A\otimes B,A\wedge B$ 和 $[A,B]$。如果对一切 $A,B,C\in \mathcal{A}$. 都有 $A(BC)=(AB)C$，则称该代数为 结合代数(associative algebra)。如果对一切 $A$、$B\in \mathcal{A}$ 都有 $AB=BA$，则称其为 交换代数(commutative algebra)。

例 6.1

在普通三维向量构成的向量空间${\mathbb{R}}^3$上，定义通常的向量乘积$\mathbf{u}\times \mathbf{v}$

$$(\mathbf{u}\times \mathbf{v}{)}_i=\sum _{j=1}^3\sum _{k=1}^3{ϵ}_{ijk}{u}_j{v}_k$$

其中

$${ϵ}_{ijk}=\{\begin{array}{ll}0& \text{ if any pair of indices }i,j,k\text{ are equal },\\ 1& \text{ if }ijk\text{ is an even permutation of }123,\\ -1& \text{ if }ijk\text{ is an odd permutation of }123.\end{array}$$

带有此复合律的向量空间${\mathbb{R}}^3$是一个非交换、非结合代数。该乘积是非交换的，因为

$$\mathbf{u}\times \mathbf{v}=-\mathbf{v}\times \mathbf{u},$$

并且它是非结合的，因为

$$(\mathbf{u}\times \mathbf{v})\times \mathbf{w}-\mathbf{u}\times (\mathbf{v}\times \mathbf{w})=(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v})\mathbf{w}-(\mathbf{v}\cdot \mathbf{w})\mathbf{u}$$

一般不消失。

例 6.2

向量空间 $V$ 上的线性算符构成的向量空间 $L(V,V)$ 形成一个结合代数，其中乘积 $AB$ 按通常方式定义，

$$(AB)u=A(Bu).$$

分配律式 (6.1) 显然成立，且结合律 $A(BC)=(AB)C$ 对所有线性变换均成立。然而，它一般是非交换的，因为 $AB\ne BA$。

类似地，所有 $n\times n$ 实矩阵的集合 ${\mathcal{M}}_n$ 关于矩阵乘法构成一个代数，因为它可以被视为与 $L({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^n)$ 相同，其中 ${\mathbb{R}}^n$ 是 $n\times 1$ 列向量的向量空间。如果标量域是复数，我们用 ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ 表示 $n\times n$ 复矩阵的代数。

若 $\mathcal{A}$ 是有限维代数，且 $E_1,E_2,\dots ,E_n$ 是任意一组基，则令 $C_{ij}^k$ 为由下式定义的标量集合

$$E_i{E}_j=C_{ij}^k{E}_k.\text{\hspace{1em}(6.2)}$$

标量$C_{ij}^k\in \mathbb{K}$.，作为向量$E_i{E}_j$相对于给定基的唯一确定分量，称为该代数相对于基$\{E_i\}$的结构常数(structure constants)。这是定义代数的一种常见方式，因为一旦相对于任意基指定了结构常数，我们便可通过分配律式(6.1)生成任意一对向量$A=a^i{E}_i$与$B=b^j{E}_j$的乘积，

$$AB=(a^i{E}_i)(b^j{E}_j)=a^i{b}^j{E}_i{E}_j=\left(a^i{b}^j{C}_{ij}^k\right)E_k.$$

随文练习

证明一个代数是交换的，当且仅当结构常数在下标中是对称的，$C_{ij}^k=C_{ji}^k$

设 $\mathcal{A}$ 与 $\mathcal{B}$ 为任意一对代数。若线性映射 $\phi :\mathcal{A}\to \mathcal{B}$ 保持乘积，即 $\phi (AB)=\phi (A)\phi (B)$，则称其为 代数同态(algebra homomorphism)

随文练习

证明：对任意一对标量 $a$、$b$ 和向量 $A$、$B$、$C$

$$\phi (A(aB+bC))=a\phi (A)\phi (B)+b\phi (A)\phi (C).$$

$\mathcal{A}$ 的 子代数(subalgebra) $\mathcal{B}$ 是一个在复合运算下闭的向量子空间，

$$A\in \mathcal{B},B\in \mathcal{B}⟹AB\in \mathcal{B}.$$

随文练习

证明：若 $\phi :\mathcal{A}\to \mathcal{B}$ 是代数同态，则像集 $\phi (\mathcal{A})\subseteq \mathcal{B}$ 是 $\mathcal{B}$ 的子代数。

一个同态 $\phi$ 若为单射且满射，则称为 代数同构(algebra isomorphism)；此时称两个代数 $\mathcal{A}$ 与 $\mathcal{B}$ 同构。

例 6.3

在向量空间 ${\mathbb{R}}^{\infty }$ 上定义一个乘法法则

$$(a_0,a_1,a_2,\dots )(b_0,b_1,b_2,\dots )=(c_0,c_1,c_2,\dots )$$

其中

$$c_p=a_0{b}_p+a_1{b}_{p-1}+\cdots +a_p{b}_0.$$

令 $A=(a_0,a_1,a_2,\dots ),B=(b_0,b_1,b_2,\dots )$，容易验证式 (6.1) 和交换律 $AB=BA$。因此，在此乘积律下，${\mathbb{R}}^{\infty }$ 是一个交换代数。此外，该代数是结合的，

$$\begin{array}{l}(A(BC){)}_p={\sum }_{i=0}^p{a}_i(bc{)}_{p-i}\\ ={\sum }_{i=0}^p{\sum }_{j=0}^{p-i}{a}_i{b}_j{c}_{p-i-j}\\ ={\sum }_{i+j+k=p}{a}_i{b}_j{c}_k\\ ={\sum }_{j=0}^p{\sum }_{i=0}^{p-j}{a}_j{b}_{p-i-j}{c}_i\\ =((AB)C{)}_p.\end{array}$$

所有实多项式的无限维向量空间$\mathcal{P}$也是一个交换结合代数，其中次数为$n$的多项式$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdot \cdot \cdot +a_n{x}^n$与次数为$m$的多项式$g(x)=b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\cdot \cdot \cdot +b_m{x}^m$的乘积按通常方式得到次数为$m+n$的多项式$f(x)g(x)$。具体进行两个此类多项式的乘法可知，由下式定义的映射$\phi :\mathcal{P}\to {\mathbb{R}}^{\infty }$

$$\phi (f(x))=\left(a_0,a_1,a_2,\dots ,a_n,0,0,\dots \right)$$

是一个代数同态。在例 3.10 中已经证明，映射 $\phi$（在该例中记作 $S$）建立了 $\mathcal{P}$ 与仅含有限多个非零项的序列所构成的向量空间 ${\hat{\mathbb{R}}}^{\infty }$ 之间的向量空间同构。若 $A\in {\hat{\mathbb{R}}}^{\infty }$，则称其长度为满足 $a_p\ne 0$. 的最大自然数 $p$。由复合律可知，若 $A$ 的长度为 $p$，且 $B$ 的长度为 $q$，则 $AB$ 是长度为 $\le p+q$ 的向量。空间 ${\hat{\mathbb{R}}}^{\infty }$ 是 ${\mathbb{R}}^{\infty }$ 的子代数，且同构于代数 $\mathcal{P}$

理想与商代数

向量子空间 $\mathcal{B}$ 若对乘积封闭，则它是 $\mathcal{A}$ 的子代数，这一性质可写作 $\mathcal{BB}\subseteq \mathcal{B}$ 。向量子空间 $\mathcal{L}$ 若满足以下条件，则称为 $\mathcal{A}$ 的 左理想(left ideal) ：

$$L\in \mathcal{L},A\in \mathcal{A}⟹AL\in \mathcal{L},$$

或者，在上述记号下，$\mathcal{A}\mathcal{L}\subseteq \mathcal{L}$。类似地，一个右理想(right ideal) $\mathcal{R}$是一个子空间，使得

$$\mathcal{R}\mathcal{A}\subseteq \mathcal{R}.$$

一个双边理想(two-sided ideal)，或简称为一个理想(ideal)，是同时为左理想和右理想的子空间$\mathcal{I}$。理想总是子代数，但反之不成立。

理想在代数中所起的作用，与正规子群在群论中所起的作用类似（见 第 2.5 节）。为理解这种对应关系，设 $\phi :\mathcal{A}\to \mathcal{B}$ 为任意两个代数之间的代数同态。如同 第 3.4 节，定义线性映射 $\phi$ 的核 $\ker \phi$ 为 $\mathcal{A}$ 的向量子空间，由那些被映射到 $\mathcal{B}$ 的零元素 $O^{\prime }$ 的向量组成，即 $\ker \phi ={\phi }^{-1}(O^{\prime })$ 。

定理 6.1 · 代数同态的核与商代数 (Kernels of algebra homomorphisms and factor algebras)

代数同态 $\phi :\mathcal{A}\to \mathcal{B}$ 的核是 $\mathcal{A}$ 的理想。反之，若 $\mathcal{I}$ 是 $\mathcal{A}$ 的理想，则在商空间 $\mathcal{A}/\mathcal{I}$ 上可自然定义代数结构，使得映射 $\phi :\mathcal{A}\to \mathcal{A}/\mathcal{I}$（其中 $A\mapsto [A]\equiv A+\mathcal{I}$）是核为 $\mathcal{I}$ 的同态。

证明

向量子空间 $\ker \phi$ 是 $\mathcal{A}$ 的左理想，因为若 $B\in \ker \phi$ 且 $A\in \mathcal{A}$，则 $AB\in \ker \phi$，因为

$$\phi (AB)=\phi (A)\phi (B)=\phi (A)O^{\prime }=O^{\prime }.$$

类似地，$\ker \phi$ 是一个右理想。

若 $\mathcal{I}$ 是 $\mathcal{A}$, 的理想，则用陪集 $[A]=A+\mathcal{I}$ 表示 $\mathcal{A}/\mathcal{I}$ 的典型元素，并通过设定 $[A][B]=[AB]$ 在 $\mathcal{A}/\mathcal{I}$ 上定义代数结构。该乘积法则是“自然的”，意即它不依赖于从 [$A$] 和 [$B$] 中所选代表元的选取，因为若 $[A^{\prime }]=[A]$ 且 $[B^{\prime }]=[B]$，则 $A^{\prime }\in A+\mathcal{I}$ 且 $B^{\prime }\in B+\mathcal{I}$。利用 $\mathcal{I}$ 既是左理想又是右理想这一事实，我们有

$$A^{\prime }{B}^{\prime }\in (A+\mathcal{I})(B+\mathcal{I})=AB+A\mathcal{I}+\mathcal{I}B+\mathcal{II}=AB+\mathcal{I}.$$

因此 $[A^{\prime }][B^{\prime }]=[A^{\prime }{B}^{\prime }]=[AB]=[A][B]$ 。由 $\phi (A)=[A]$ 定义的映射 $\phi :\mathcal{A}\to \mathcal{A}/\mathcal{I}$ 显然是同态，其核为 ${\phi }^{-1}([O])=\mathcal{I}$