西尔维斯特惯性定律 (Sylvester’s law of inertia)

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§5.1 · zh-CN · translation · unreviewed

定理 5.3 · 西尔维斯特惯性定律 (Sylvester’s law of inertia)

(西尔维斯特) 在 ${\eta }_i$ 中，$+$ 与 $-$ 符号的数目与标准正交基的选取无关。

证明

设 $\{e_i\}$ 与 $\{f_j\}$ 为两个标准正交基，使得

$$e_1\cdot e_1=\cdots =e_r\cdot e_r=+1,e_{r+1}\cdot e_{r+1}=\cdots =e_n\cdot e_n=-1,$$ $$f_1\cdot f_1=\cdots =f_s\cdot f_s=+1,f_{s+1}\cdot f_{s+1}=\cdots =f_n\cdot f_n=-1.$$

若 $s>r$，则向量 $f_1,\dots ,f_s$ 与 $e_{r+1},\dots ,e_n$ 构成一组 $s+n-r>n=\dim V$ 个向量，且它们之间必存在一个非平凡线性关系，

$$a^1{f}_1+\cdots +a^s{f}_s+b^1{e}_{r+1}+\cdots +b^{n-r}{e}_n=0.$$

由于$a^i$不可能全部为零，因为$e_i$构成线性无关集。类似地，并非所有$b^j$都会为零。令

$$u=a^1{f}_1+\cdots +a^s{f}_s=-b^1{e}_{r+1}-\cdots -b^{n-r}{e}_n\ne 0$$

我们得到了矛盾

$$u\cdot u=\sum _{i=1}^s(a^i{)}^2>0\text{ and }u\cdot u=-\sum _{j=1}^{n-r}(b^j{)}^2<0.$$

因此，$r=s$ 与这两个基必须具有完全相同数量的 $+$ 和 $-$ 符号。

§5.1 · en · original_transcription · unreviewed

Theorem 5.3 · Sylvester’s law of inertia

(Sylvester) The number of $+$ and $-$ signs among the ${\eta }_i$ is independent of the choice of orthonormal basis.

Proof

Let $\{e_i\}$ and $\{f_j\}$ be two orthonormal bases such that

$$e_1\cdot e_1=\cdots =e_r\cdot e_r=+1,e_{r+1}\cdot e_{r+1}=\cdots =e_n\cdot e_n=-1,$$ $$f_1\cdot f_1=\cdots =f_s\cdot f_s=+1,f_{s+1}\cdot f_{s+1}=\cdots =f_n\cdot f_n=-1.$$

If $s>r$ then the vectors $f_1,\dots ,f_s$ and $e_{r+1},\dots ,e_n$ are a set of $s+n-r>n=\dim V$ vectors and there must be a non-trivial linear relation between them,

$$a^1{f}_1+\cdots +a^s{f}_s+b^1{e}_{r+1}+\cdots +b^{n-r}{e}_n=0.$$

The $a^i$ cannot all vanish since the $e_i$ form an l.i. set. Similarly, not all the $b^j$ will vanish. Setting

$$u=a^1{f}_1+\cdots +a^s{f}_s=-b^1{e}_{r+1}-\cdots -b^{n-r}{e}_n\ne 0$$

we have the contradiction

$$u\cdot u=\sum _{i=1}^s(a^i{)}^2>0\text{ and }u\cdot u=-\sum _{j=1}^{n-r}(b^j{)}^2<0.$$

Hence $r=s$ and the two bases must have exactly the same number of $+$ and $-$ signs.

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• href=“#theorem-5-3”
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