1.1 非相对论性粒子

我们先把狭义相对论和时空放在一边，转而关注粒子在弯曲空间中的非相对论运动。在数学上，这类空间称为流形(manifold)，而对弯曲流形的研究称为黎曼几何(Riemannian geometry)。不过，本节的大部分内容我们都不去理会任何正式的数学定义，而是把注意力集中在物理上。

1.1.1 测地线方程

我们从一件非常熟悉的事情开始：质量为 m 的粒子在平坦欧几里得空间 ${\mathbf{R}}^3$ 中的非相对论运动。这一次，坐标 ${\mathbf{x}}^i=(x,y,z)$ 确实就是通常的笛卡尔坐标。描述这一运动的拉格朗日量就是动能，

$$L=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2)\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

把式 (1.2)应用于这个拉格朗日量，我们直接得到 ${\ddot{x}}^i=0$，这正是说自由粒子沿直线以恒定速度运动。

现在我们要把这一讨论推广到在弯曲空间中运动的粒子。首先，我们需要一种描述弯曲空间的方法。相关的数学我们将在第 2 节和第 3 节中展开，这里先给出一个简单的视角。我们通过指定任意两点 $x^i$ 与 $x^i+d{x}^i$ 之间的无穷小距离来描述弯曲空间，这个距离称为线元(line element)。其最一般的形式为

$$d{s}^2=g_{ij}(x)d{x}^{i}d{x}^j\text{\hspace{1em}(1.4)}$$

其中 $3\times 3$ 矩阵 $g_{ij}$ 称为度规张量(metric tensor)。度规张量是对称的：$g_{ij}=g_{ji}$，因为反对称部分与 $d{x}^{i}d{x}^j$ 缩并时会在距离中消失。我们进一步假定度规张量是正定且非退化的，从而它的逆存在。$g_{ij}$ 是坐标 x 的函数，这只不过告诉我们：两点 $x^i$ 与 $x^i+d{x}^i$ 之间的距离取决于你所处的位置。

在继续之前，先作一点说明：在这门学科中，指标 $i,j$ 是上标还是下标是有讲究的。我们将在第 2 节中更好地理解这一点，但目前只需记住：坐标带的是上标，而度规张量带的是两个下标。

本课程中我们会看到大量度规张量的例子。在介绍一些较简单的度规张量之前，让我们先继续前进，弄清粒子在度规张量存在时如何运动。支配粒子运动的拉格朗日量是 (1.3) 的显然推广

$$L=\frac{m}{2}{g}_{ij}(x){\dot{x}}^i{\dot{x}}^j\text{\hspace{1em}(1.5)}$$

由这个作用量得到相应的欧拉–拉格朗日方程，即 式 (1.2)，计算起来并不复杂。这实际上只是一道指标记号的练习，尤其要确保我们不会无意中把同一个指标用了两次。由于这一点很重要，我们慢慢来做。我们有

$$\frac{\partial L}{\partial x^i}=\frac{m}{2}\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i}{\dot{x}}^j{\dot{x}}^k$$

这里我们小心地对度规的指标重新标号，使等式两边的 i 指标相互匹配。类似地，我们有

$$\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}^i}=m{g}_{ik}{\dot{x}}^k\Rightarrow \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}^i}\right)=m\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}{\dot{x}}^j{\dot{x}}^k+m{g}_{ik}{\ddot{x}}^k$$

把这些放在一起，欧拉–拉格朗日方程式 (1.2)就变成

$$g_{ik}{\ddot{x}}^k+\left(\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}-\frac{1}{2}\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i}\right){\dot{x}}^j{\dot{x}}^k=0$$

由于括号中的项与 ${\dot{x}}^j{\dot{x}}^k$ 缩并，只有对称部分才有贡献。我们可以把这个方程改写为下面的形式，从而使这一点变得显而易见：

$$g_{ik}{\ddot{x}}^k+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}+\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^i}\right){\dot{x}}^j{\dot{x}}^k=0\text{\hspace{1em}(1.6)}$$

最后还有一步：我们将整个方程乘以逆度规张量 $g^{-1}$，从而得到形如 ${\ddot{x}}^k=\dots$ 的方程。我们把逆度规张量 $g^{-1}$ 简单地记为将度规的指标从下标提升为上标，也就是说，逆度规张量记作 $g^{ij}$。按定义，它满足

$$g^{ij}{g}_{jk}={\delta }_k^i$$

最后，我们顺便对部分指标重新标号，于是粒子的运动方程可以写成

$${\ddot{x}}^i+{\Gamma }_{jk}^i{\dot{x}}^j{\dot{x}}^k=0\text{\hspace{1em}(1.7)}$$

其中

$${\Gamma }_{jk}^i(x)=\frac{1}{2}{g}^{il}\left(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{lk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l}\right)\text{\hspace{1em}(1.8)}$$

这些系数称为克里斯托费尔符号(Christoffel symbol)。由构造可知，它们对下方的两个指标是对称的：${\Gamma }_{jk}^i={\Gamma }_{kj}^i$。它们在后续的所有内容中都将发挥非常重要的作用。运动方程(1.7)就是测地线方程(geodesic equation)，而满足这一方程的解称为测地线(geodesic)。

一个平凡的例子：再谈平直空间

我们先来考虑平直空间${\mathbf{R}}^3$。毕达哥拉斯借助他的朋友笛卡尔的坐标，教会了我们如何测量距离，

$$d{s}^2=d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2\text{\hspace{1em}(1.9)}$$

假设我们不用笛卡尔坐标，而改用极坐标。两者之间的关系由下式给出

$$\begin{array}{rl}& x=r\sin \theta \cos \varphi \\ & y=r\sin \theta \sin \varphi \\ & z=r\cos \theta \end{array}$$

在极坐标下，只需把上述关系代入(1.9)，就能简单地求出两点之间的无穷小距离。稍作代数运算便得到，

$$d{s}^2=d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\varphi }^2$$

在这种情况下，度规张量（因而它的逆度规张量）是对角的。它们分别是

$$g_{ij}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& r^2& 0\\ 0& 0& r^2{\sin }^2\theta \end{array}\right)\text{and}{g}^{ij}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& r^{-2}& 0\\ 0& 0& (r^2{\sin }^2\theta {)}^{-1}\end{array}\right)$$

其中矩阵的分量取遍$i,j=r,\theta ,\varphi$。由此我们可以很容易地算出克里斯托费尔符号。不为零的分量为

$${\Gamma }_{\theta \theta }^r=-r,{\Gamma }_{\varphi \varphi }^r=-r{\sin }^2\theta ,{\Gamma }_{\theta r}^{\theta }={\Gamma }_{r\theta }^{\theta }=\frac{1}{r}$$

$${\Gamma }_{\varphi \varphi }^{\theta }=-\sin \theta \cos \theta ,{\Gamma }_{\varphi r}^{\varphi }={\Gamma }_{r\varphi }^{\varphi }=\frac{1}{r},{\Gamma }_{\theta \varphi }^{\varphi }={\Gamma }_{\varphi \theta }^{\varphi }=\frac{\cos \theta }{\sin \theta }\text{\hspace{1em}(1.10)}$$

这里有几条重要的教训。首先，$\Gamma \ne 0$ 并不一定意味着空间是弯曲的。正如本例所示，非零的克里斯托费尔符号完全可以仅仅由坐标变换产生。随着课程的推进，我们将发展出一种判别方法，用来判断空间是否真的弯曲，抑或只是我们所使用的坐标造成的假象。

第二条教训是：用(1.8)来计算克里斯托费尔符号往往极其麻烦。如果愿意，我们可以把克里斯托费尔符号代入式 (1.7)，从而确定运动方程。然而，通常更容易的做法是回到原来的作用量，直接确定运动方程。在目前的情形下，我们有

$$S=\frac{m}{2}\int dt\left({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2+r^2{\sin }^2\theta {\dot{\varphi }}^2\right)\text{\hspace{1em}(1.11)}$$

由此得到的欧拉–拉格朗日方程为

$$\ddot{r}=r{\dot{\theta }}^2+r{\sin }^2\theta {\dot{\varphi }}^2,\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta })=r^2\sin \theta \cos \theta {\dot{\varphi }}^2,\frac{d}{dt}(r^2{\sin }^2\theta \dot{\varphi })=0\text{\hspace{1em}(1.12)}$$

这不过是用极坐标描述的直线方程而已。要提取克里斯托费尔符号，最快的办法通常是由作用量算出运动方程，再把它与式 (1.7)所给出的测地线方程相比较，同时注意其中的对称性质。

一个稍不那么平凡的例子：${\mathbf{S}}^2$

上面用${\mathbf{R}}^3$的极坐标所作的描述，使我们能够立刻描述一种空间真正弯曲的情形：在二维球面${\mathbf{S}}^2$上的运动。只要把径向坐标 r 取为某个常数值，比如 $r=R$，就能做到这一点。我们可以把这个约束代入(1.11)中的作用量，从而得到粒子在球面上运动的作用量，

$$S=\frac{m{R}^2}{2}\int dt\left({\dot{\theta }}^2+{\sin }^2\theta {\dot{\varphi }}^2\right)$$

类似地，运动方程由(1.12)给出，并附加限制 $r=R$ 与 $\dot{r}=0$。其解是大圆，也就是球面上的测地线。要一般地看出这一点有些复杂，但我们可以借助旋转不变性。我们把球面旋转一下，使起点为 ${\theta }_0=\pi /2$、初速度为 $\dot{\theta }=0$。在这种情况下，很容易验证解具有 $\theta =\pi /2$ 与 $\varphi =\Omega t$ 的形式（其中 Ω 为某个常数），它们就是沿赤道绕行的大圆。

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来源版本：michaelmas-2019-source-20260923

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