2.3 张量

对任意向量空间 V，对偶向量空间(dual vector space) $V^{\ast }$ 就是由 V 到 R 的全部线性映射构成的空间。

这是数学中一种标准的构造，不过即使你以前没见过它，它也应当能与你从量子力学中知道的某些东西产生共鸣。在量子力学中，希尔伯特空间里的态用右矢 $|\psi ⟩\in \mathcal{H}$ 表示，而与之对偶的希尔伯特空间中的态用左矢 $|\varphi |\in {\mathcal{H}}^{\ast }$ 表示。任何左矢都可以看作一个由 $⟨\varphi |(|\psi ⟩)=⟨\varphi |\psi ⟩$ 定义的映射 $\varphi |:\mathcal{H}\to \mathbf{R}$。

一般地，设给定 V 的一个基 $\{e_{\mu },\mu =1,\dots ,n\}$。于是我们可以为 $V^{\ast }$ 引入一个由下式定义的对偶基(dual basis) $\{f^{\mu },\mu =1,\dots ,n\}$：

$$f^{\nu }(e_{\mu })={\delta }_{\mu }^{\nu }$$

V 中的一般向量可以写成 $X=X^{\mu }{e}_{\mu }$，而 $f^{\nu }(X)=X^{\mu }{f}^{\nu }(e_{\mu })=X^{\nu }$。给定一个基，这一构造就给出 V 与 $V^{\ast }$ 之间的一个同构，即 $e_{\mu }\to f^{\mu }$。但这个同构依赖于基的选取：换一个基，你就会得到另一个映射。

我们可以重复这一构造，考虑 $(V^{\ast }{)}^{\ast }$，它是由 $V^{\ast }$ 到 R 的全部线性映射构成的空间。但这个空间与 $V$ 自然同构，也就是说，这个同构不依赖于基的选取。为看出这一点，设 $X\in V$，$\omega \in V^{\ast }$。这意味着 $\omega (X)\in \mathbf{R}$。但我们同样可以把 $X\in (V^{\ast }{)}^{\ast }$ 看作，并定义 $X(\omega )=\omega (X)\in \mathbf{R}$。在这个意义上，$(V^{\ast }{)}^{\ast }=V$。

2.3.1 余向量与1-形式

在每一点 $p\in M$ 处都有一个向量空间 $T_p(M)$。这个空间的对偶空间 $T_p^{\ast }(M)$ 称为 $p,$ 处的余切空间(cotangent space)，该空间中的元素称为余切向量，有时简称为余向量。给定 $T_p(M)$ 的一个基 $\{e_{\mu }\}$，我们就可以为 $T_p^{\ast }(M)$ 引入对偶基 $\{f^{\mu }\}$，并把任意余向量展开为 $\omega ={\omega }_{\mu }{f}^{\mu }$。

我们也可以构造余切向量场：在每一点 $p$ 处光滑地选取 $T_p^{\ast }(M)$ 中的一个元素。这样的余切向量场更常见的名称是1-形式(one-form)；它们把向量场映为实数。M 上所有1-形式的集合记作 ${\Lambda }^1(M)$。

构造1-形式有一种特别简单的方法。取一个函数 $f\in$ $C^{\infty }(M)$，并如下定义 $df\in {\Lambda }^1(M)$：

$$df(X)=X(f)\text{\hspace{1em}(2.16)}$$

我们可以用这一方法来为 ${\Lambda }^1(M)$ 构造一组基。在 M 上引入坐标 $x^{\mu }$，以及相应的向量场坐标基 $e_{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }$，后者常简写为 $\partial /\partial x^{\mu }\equiv {\partial }_{\mu }$。然后只需取函数 $f=x^{\mu }$，由(2.16)便得到

$$d{x}^{\mu }({\partial }_{\nu })={\partial }_{\nu }(x^{\mu })={\delta }_{\nu }^{\mu }$$

这意味着 $f^{\mu }=d{x}^{\mu }$ 构成 ${\Lambda }^1(M)$ 的一组基，它与坐标基 $\partial /{\partial }_{\mu }$ 互为对偶。于是，任意一个1-形式 $\omega \in {\Lambda }^1(M)$ 都可以展开为

$$\omega ={\omega }_{\mu }d{x}^{\mu }$$

在这样的基下，1-形式 df 具有如下形式

$$df=\frac{\partial f}{\partial x^{\mu }}d{x}^{\mu }\text{\hspace{1em}(2.17)}$$

要看出这一点，我们只需计算

$$df(X)=\frac{\partial f}{\partial x^{\mu }}d{x}^{\mu }(X^{\nu }{\partial }_{\nu })=X^{\mu }\frac{\partial f}{\partial x^{\mu }}=X(f)$$

这与预期的结果(2.16)一致。

与向量场的情形一样，我们也可以考察改变坐标时会发生什么。给定两个不同的坐标卡 $\varphi =(x^1,\dots ,x^n)$ 和 $\tilde{\varphi }=({\tilde{x}}^1,\dots ,{\tilde{x}}^n)$，我们知道向量场的基按(2.5)的方式变换，

$$\frac{\partial }{\partial {\tilde{x}}^{\mu }}=\frac{\partial x^{\nu }}{\partial {\tilde{x}}^{\mu }}\frac{\partial }{\partial x^{\nu }}$$

我们应当让1-形式的基以相反的方式变换，

$$d{\tilde{x}}^{\mu }=\frac{\partial {\tilde{x}}^{\mu }}{\partial x^{\nu }}d{x}^{\nu }\text{\hspace{1em}(2.18)}$$

这样就能保证

$$d{\tilde{x}}^{\mu }\left(\frac{\partial }{\partial {\tilde{x}}^{\nu }}\right)=\frac{\partial {\tilde{x}}^{\mu }}{\partial x^{\rho }}d{x}^{\rho }\left(\frac{\partial x^{\sigma }}{\partial {\tilde{x}}^{\nu }}\frac{\partial }{\partial x^{\sigma }}\right)=\frac{\partial {\tilde{x}}^{\mu }}{\partial x^{\rho }}\frac{\partial x^{\sigma }}{\partial {\tilde{x}}^{\nu }}d{x}^{\rho }\left(\frac{\partial }{\partial x^{\sigma }}\right)=\frac{\partial {\tilde{x}}^{\mu }}{\partial x^{\rho }}\frac{\partial x^{\sigma }}{\partial {\tilde{x}}^{\nu }}{\delta }_{\sigma }^{\rho }$$

但这不过是一个矩阵与其逆矩阵的乘积，

$$\frac{\partial {\tilde{x}}^{\mu }}{\partial x^{\rho }}\frac{\partial x^{\rho }}{\partial {\tilde{x}}^{\nu }}={\delta }_{\nu }^{\mu }$$

于是我们得到

$$d{\tilde{x}}^{\mu }\left(\frac{\partial }{\partial {\tilde{x}}^{\nu }}\right)={\delta }_{\nu }^{\mu }$$

这正是应有的结果。接下来，我们可以把1-形式 $\omega$ 在这两组基中的任意一组下展开，

$$\omega ={\omega }_{\mu }d{x}^{\mu }={\tilde{\omega }}_{\mu }d{\tilde{x}}^{\mu }\mathrm{with}{\tilde{\omega }}_{\mu }=\frac{\partial x^{\nu }}{\partial {\tilde{x}}^{\mu }}{\omega }_{\nu }\text{\hspace{1em}(2.19)}$$

用那种我总也记不住的讨厌术语来说，像这样变换的向量分量被称为协变的。注意，与向量场的情形一样，指标的位置意味着 (2.18) 和 (2.19) 差不多就是你能写出的仅有的有意义的东西。

2.3.2 再论李导数

在2.2.4 节中，我们说明了如何构造李导数，它沿第二个向量场 X 的方向对一个向量场求导。同样的想法也可以移植到1-形式上。

在映射 $\phi :M\to N$ 之下我们看到，M 上的向量场 X 可以被推前到 N 上的向量场 ${\phi }_{\ast }X$。与此相反，1-形式的走向正好相反：给定 $N$ 上的一个1-形式 $\omega$，我们可以把它拉回为 $M.$ 上的一个1-形式 $\left({\phi }^{\ast }\omega \right)$，其定义为

$$({\phi }^{\ast }\omega )(X)=\omega ({\phi }_{\ast }X)$$

若在 M 上引入坐标 $x^{\mu }$、在 N 上引入坐标 $y^{\alpha }$，则拉回的分量由下式给出

$$({\phi }^{\ast }\omega {)}_{\mu }={\omega }_{\alpha }\frac{\partial y^{\alpha }}{\partial x^{\mu }}\text{\hspace{1em}(2.20)}$$

现在我们定义作用在1-形式上的李导数 ${\mathcal{L}}_X$。同样地，我们用 $X$ 生成一个流 ${\sigma }_t:M\to M$，借助拉回就可以比较不同点处的1-形式。我们把余切向量 $\omega (p)$ 记作 ${\omega }_p$。于是1-形式 ω 的李导数定义为

$${\mathcal{L}}_X\omega =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{({\sigma }_t^{\ast }\omega {)}_p-{\omega }_p}{t}\text{\hspace{1em}(2.21)}$$

注意，这里我们是用映射 ${\sigma }_t$ 作拉回。这与 (2.13) 形成对照：在那里我们用映射 ${\sigma }_{-t}$ 把切向量推前，而正如我们下面将要说明的，这一符号上的差别会体现在李导数的表达式中。无穷小映射 ${\sigma }_t$ 对坐标的作用为 $x^{\mu }(t)=x^{\mu }(0)+t{X}^{\mu }+\text{ . . . s o }$，由 (2.20) 可知，基向量 $d{x}^{\mu }$ 的拉回为

$${\sigma }_t^{\ast }d{x}^{\mu }=\left({\delta }_{\nu }^{\mu }+t\frac{\partial X^{\mu }}{\partial x^{\nu }}+\dots \right)d{x}^{\nu }$$

作用在坐标基上，我们便得到

$${\mathcal{L}}_X(d{x}^{\mu })=\frac{\partial X^{\mu }}{\partial x^{\nu }}d{x}^{\nu }$$

这确实与切向量相应的结果 (2.14) 相差一个负号。作用在一般的1-形式 $\omega ={\omega }_{\mu }d{x}^{\mu }$ 上时，李导数为

$$\begin{array}{c}{\mathcal{L}}_X\omega =({\mathcal{L}}_X{\omega }_{\mu })d{x}^{\mu }+{\omega }_{\nu }{\mathcal{L}}_X(d{x}^{\nu })\\ =(X^{\nu }{\partial }_{\nu }{\omega }_{\mu }+{\omega }_{\nu }{\partial }_{\mu }{X}^{\nu })d{x}^{\mu }\end{array}\text{\hspace{1em}(2.22)}$$

我们将在 2.4 节 中进一步讨论1-形式（以及其他形式）。

2.3.3 张量与张量场

点 $p\in M$ 处的一个秩为 $(r,s)$ 的张量，定义为如下的多重线性映射

$$T:\stackrel{r}{\overbrace{T_p^{\ast }(M)\times \dots \times T_p^{\ast }(M)}}\times \stackrel{s}{\overbrace{T_p(M)\times \dots \times T_p(M)}}\to \mathbf{R}$$

这样的张量称为具有总秩 $r+s.$

我们已经见过一些例子。$T_p^{\ast }(M)$ 中的余切向量是类型为 $(0,1)$ 的张量，而 $T_p(M)$ 中的切向量则是类型为 (1, 0) 的张量（这里用到了 $T_p(M)=T_p^{\ast \ast }(M))$ 这一事实）。

与前面一样，我们把张量场(tensor field)定义为对每一点 $p\in M$ 光滑地指定一个 $(r,s)$ 型张量

给定向量场的一组基 $\{e_{\mu }\}$ 以及1-形式的对偶基 $\{f^{\mu }\}$，张量的分量定义为

$$T_{{\nu }_1\dots {\nu }_s}^{{\mu }_1\dots {\mu }_r}=T(f^{{\mu }_1},\dots ,f^{{\mu }_r},e_{{\nu }_1},\dots ,e_{{\nu }_s})$$

注意，我们有意把一串下指标写在上指标之后。从某种意义上说，这并无必要，写成 $T_{{\nu }_1...{\nu }_s}^{{\mu }_1...{\mu }_r}$ 也不会丢失任何信息。不过，我们后面会看到，养成这一习惯是有用的。

在 n 维流形上，这样的分量共有 $n^{r+s}$ 个。对于张量场，其中每一个都是 M 上的函数。

举例来说，考虑一个秩为 $(2,1)$ 的张量。它取两个1-形式，比如 ω 与 $\eta ,$，再连同向量场 X，给出一个实数。在给定的基下，这个数为

$$T(\omega ,\eta ,X)=T({\omega }_{\mu }{f}^{\mu },{\eta }_{\nu }{f}^{\nu },X^{\rho }{e}_{\rho })={\omega }_{\mu }{\eta }_{\nu }{X}^{\rho }T(f^{\mu },f^{\nu },e_{\rho })=T_{\rho }^{\mu \nu }{\omega }_{\mu }{\eta }_{\nu }{X}^{\rho }$$

每个流形都自然带有一个 $(1,1)$ 型张量，称为 δ。它取一个1-形式 $\omega$ 和一个向量场 X，给出实数

$$\delta (\omega ,X)=\omega (X)\Rightarrow \delta (f^{\mu },e_{\nu })=f^{\mu }(e_{\nu })={\delta }_{\nu }^{\mu }$$

这其实就是克罗内克符号。

与向量场和1-形式的情形一样，我们也可以问张量的分量如何变换。这里我们做得比之前更一般。考虑向量场的两组基 $\{e_{\mu }\}$ 与 $\{{\tilde{e}}_{\mu }\}$，它们不必是坐标基，二者由

$${\tilde{e}}_{\nu }=A_{\nu }^{\mu }{e}_{\mu }$$

对某个可逆矩阵 A 相联系。相应的对偶基 $\{f^{\mu }\}$ 与 $\left\{{\tilde{f}}^{\mu }\right\}$ 则由

$${\tilde{f}}^{\rho }=B_{\sigma }^{\rho }{f}^{\sigma }$$

相联系，使得

$${\tilde{f}}^{\rho }({\tilde{e}}_{\nu })=A_{\nu }^{\mu }{B}_{\sigma }^{\rho }{f}^{\sigma }(e_{\mu })=A_{\nu }^{\mu }{B}_{\mu }^{\rho }={\delta }_{\nu }^{\rho }\Rightarrow B_{\mu }^{\rho }=(A^{-1}{)}_{\mu }^{\rho }$$

于是，张量的下指标分量按乘以 A 的方式变换，上指标分量则按乘以 $B=A^{-1}$ 的方式变换。因此，例如一个秩为 (1, 2) 的张量的变换为

$${\tilde{T}}_{\rho \nu }^{\mu }=B_{\sigma }^{\mu }{A}_{\rho }^{\tau }{A}_{\nu }^{\lambda }{T}_{\tau \lambda }^{\sigma }\text{\hspace{1em}(2.23)}$$

当我们在坐标基之间作变换时，有

$$A_{\nu }^{\mu }=\frac{\partial x^{\mu }}{\partial {\tilde{x}}^{\nu }}\mathrm{and}{B}_{\nu }^{\mu }=(A^{-1}{)}_{\nu }^{\mu }=\frac{\partial {\tilde{x}}^{\mu }}{\partial x^{\nu }}$$

你可以验证，这与我们先前的结果 (2.6) 和 (2.19) 一致。

张量场上的运算

我们可以对张量场施行若干种运算，从而生成新的张量。

首先，我们可以把张量场相加、相减，或用函数去乘它们。这也就是说，点 $p\in M$ 处的全体张量构成一个向量空间。

其次，还有一种把张量相乘、从而得到不同类型张量的方法。给定一个秩为 $(p,q)$ 的张量 S 和一个秩为 $(r,s)$ 的张量 T，我们可以构造张量积 $S\otimes T$，它是一个秩为 $(p+r,q+s)$ 的新张量，其定义为

$$\begin{array}{c}S\otimes T({\omega }_1,\dots ,{\omega }_p,{\eta }_1,\dots ,{\eta }_r,X_1,\dots X_q,Y_1,\dots ,Y_s)\\ =S({\omega }_1,\dots ,{\omega }_p,X_1,\dots X_q)T({\eta }_1,\dots ,{\eta }_r,Y_1,\dots ,Y_s)\end{array}$$

用分量写出，即为

$$(S\otimes T{)}^{\begin{array}{c}{\mu }_1\dots {\mu }_p{\nu }_1\dots {\nu }_r\\ {\rho }_1\dots {\rho }_q{\sigma }_1\dots {\sigma }_s\end{array}}=S_{{\rho }_1\dots {\rho }_q}^{{\mu }_1\dots {\mu }_p}{T}_{{\sigma }_1\dots {\sigma }_s}^{{\nu }_1\dots {\nu }_r}\text{\hspace{1em}(2.24)}$$

给定一个 $(r,s)$ 型张量 $T_{\cdot }$，我们还可以通过缩并构造一个秩更低的张量 $(r-1,s-1)$。做法是：把 $T_p^{\ast }(M)$ 中的某一个元素换成基向量 $f^{\mu }$，并把 $T_p(M)$ 中相应的元素换成对偶向量 $e_{\mu }$，然后对 $\mu =1,\dots ,n$ 求和。例如，给定一个秩为 (2, 1) 的张量 T，我们可以按下式构造一个秩为 (1, 0) 的张量 S：

$$S(\omega )=T(\omega ,f^{\mu },e_{\mu })$$

我们也可以缩并另一个自变量，从而构造出（通常）不同的 (1, 0) 张量，即 $S^{\prime }(\omega )=T(f^{\mu },\omega ,e_{\mu })$。用分量写出，缩并无非就是把一个上指标与一个下指标取为相同并对其求和，

$$S^{\mu }=T_{\nu }^{\mu \nu }\mathrm{and}{S}^{\prime \mu }=T_{\nu }^{\nu \mu }$$

下一个运算是对称化与反对称化。例如，给定一个 (0, 2) 张量 $T$，我们可以把它分解为两个 (0, 2) 张量，其中自变量分别被对称化或反对称化，

$$\begin{array}{rl}& S(X,Y)=\frac{1}{2}(T(X,Y)+T(Y,X))\\ & A(X,Y)=\frac{1}{2}(T(X,Y)-T(Y,X))\end{array}$$

用指标记法写出，即为

$$S_{\mu \nu }=\frac{1}{2}(T_{\mu \nu }+T_{\nu \mu })\mathrm{and}{A}_{\mu \nu }=\frac{1}{2}(T_{\mu \nu }-T_{\nu \mu })$$

这就像取一个矩阵的对称部分与反对称部分一样。由于我们会相当频繁地使用这些运算，因此有必要引入一些新的记号。我们定义

$$T_{(\mu \nu )}=\frac{1}{2}(T_{\mu \nu }+T_{\nu \mu })\mathrm{and}{T}_{[\mu \nu ]}=\frac{1}{2}(T_{\mu \nu }-T_{\nu \mu })$$

这些运算可以推广到其他张量。例如，

$$T_{\sigma }^{(\mu \nu )\rho }=\frac{1}{2}(T_{\sigma }^{\mu \nu \rho }+T_{\sigma }^{\nu \mu \rho })$$

我们也可以对多个指标作对称化或反对称化，前提是这些指标要么全是上指标，要么全是下指标。若对 $p$ 个对象作（反）对称化，则要除以 $p!.$，即可能的置换的数目。这一归一化保证了：如果出发的张量本身已经是（比如说）对称的，那么再作对称化不会改变它。在反对称性的情形，我们用置换的符号给每一项加权。例如，

$$T_{(\nu \rho \sigma )}^{\mu }=\frac{1}{3!}(T_{\nu \rho \sigma }^{\mu }+T_{\rho \nu \sigma }^{\mu }+T_{\rho \sigma \nu }^{\mu }+T_{\sigma \rho \nu }^{\mu }+T_{\sigma \nu \rho }^{\mu }+T_{\nu \sigma \rho }^{\mu })$$

以及

$$T_{[\nu \rho \sigma ]}^{\mu }=\frac{1}{3!}(T_{\nu \rho \sigma }^{\mu }-T_{\rho \nu \sigma }^{\mu }+T_{\rho \sigma \nu }^{\mu }-T_{\sigma \rho \nu }^{\mu }+T_{\sigma \nu \rho }^{\mu }-T_{\nu \sigma \rho }^{\mu })$$

有时我们会很恼火地发现，需要对称化（或反对称化）的指标并不相邻。为此我们引入竖线，把某些指标排除在对称化过程之外。例如，

$$T_{[\nu |\rho |\sigma ]}^{\mu }=\frac{1}{2}(T_{\nu \rho \sigma }^{\mu }-T_{\sigma \rho \nu }^{\mu })$$

最后，给定任意阶的光滑张量场 $T$，我们总能取它关于向量场 X 的李导数。正如前面所见，在映射 $\phi :M\to N$ 之下，2 个向量场被推前，而1-形式被拉回。一般而言，这会使混合型张量无所适从，不知该往哪里去。不过，如果 $\phi$ 是微分同胚，那么我们还有 ${\phi }^{-1}:N\to M$，这就使我们能够定义张量 $T$ 从 M 到 N 的推前(push-forward)。它作用在 1-形式 $\omega \in {\Lambda }^1(N)$ 与向量场 $X\in \mathfrak{X}(N)$ 上，由下式给出

$$({\phi }_{\ast }T)({\omega }_1,\dots ,{\omega }_r,X_1,\dots ,X_s)=T({\phi }^{\ast }{\omega }_1,\dots ,{\phi }^{\ast }{\omega }_r,({\phi }_{\ast }^{-1}{X}_1),\dots ,({\phi }_{\ast }^{-1}{X}_s))$$

这里 ${\phi }^{\ast }\omega$ 是 $\omega$ 从 N 到 $M$ 的拉回，而 ${\phi }_{\ast }^{-1}X$ 是 X 从 N 到 M 的推前。

于是，张量 T 沿 X 的李导数(Lie derivative)定义为

$${\mathcal{L}}_{X}T=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{(({\sigma }_{-t}{)}_{\ast }T{)}_p-T_p}{t}$$

其中 ${\sigma }_t$ 是由 X 生成的流。这与我们先前在 (2.13) 中对向量场、在 (2.21) 中对 1-形式给出的定义一致。（(2.13) 与 (2.21) 中 ${\sigma }_{-t}$ 与 ${\sigma }_t$ 之间的符号差异，如今隐藏在定义 ${\phi }_{\ast }T.)$ 中出现的逆推前 ${\phi }_{\ast }^{-1}$ 里。）

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF

来源版本：michaelmas-2019-source-20260923

来源 PDF SHA-256：3ba65dc61f22a69c7d5fdf3e8e1f641efbfa6cf49a44b3dcb0fd5367ba9fcf1c

OCR 来源 SHA-256：f58e775c8ca9f14ce79c624d8e60dcf8f6b8feacb94e5342e9bfd0dc174328a5

译稿产物 SHA-256：4499259313145083ca82e13d7990dae0d29c0d2ed0316546bf75190c5c9d3f6e