19.4 李变换群

English

设 $M$ 是一个可微流形，$G$ 是一个李群。所谓 $G$ 在 $M$ 上的作用，是指一个可微映射 $\varphi :G\times M\to M$ ，通常记作 $\varphi (g,x)=gx$ ，使得

(i) 对所有 $x\in X$，$ex=x$，其中 $e$ 是 $G_{\ast }$ 中的恒等元

(ii) $(gh)x=g(hx).$

这与 2.6 节中定义的左作用约定一致，我们称 $G$ 为 $M$ 的 李变换群(Lie group of transformations)。当然，我们也可以按自然方式定义右作用 $(g,x)\mapsto xg$。

随文练习

对任意固定的 $g\in G$，证明由 ${\varphi }_g(x)=\varphi (g,x)=gx$ 定义的映射 ${\varphi }_g:M\to M$ 是 $M$ 的微分同胚。

若 $e$ 使每一点 $x\in M$ 固定，则称 $G$ 在 $M$ 上的作用是 有效作用(effective action)，

$$gx=x\text{ for all }x\in M⟹g=e.$$

如 2.6 节所述，点 $x\in M$ 的 轨道(orbit) $Gx$ 是集合 $Gx=\left\{gx\mid g\in G\right\}$，并且如果 $M$ 的全部是其中某一点的轨道，则称 $G$ 在 $M$ 上的作用是 传递作用(transitive action)

$M$。在这种情况下，对于所有 $y\in M$ 都有 $M=Gy$，并且通常说 $M$ 是 $G$ 的一个 齐性流形(homogeneous manifold)

例 19.9

任何李群 $G$ 通过左平移 $L_g:G\to G$ 作用于自身，此时映射 $\varphi :G\times G\to G$ 由 $\varphi (g,h)=gh=L_{g}h$ 定义。该作用既是有效的又是遍历的。类似地，$G$ 通过右平移 $R_g:G\to G$ 作用于自身，其中 $R_{g}h=hg$

设 $H$ 是李群 $G,$ 的闭子群，$\pi :G\to G/H$ 为将 $g$ 的每个元素映到其所属左陪集的自然映射，$\pi (g)=gH$。如同 10.8 中那样，商空间 $G/H$ 被赋予由 $\pi$ 诱导的自然拓扑。此外，$G/H$ 具有唯一的流形结构，使得 $\pi$ 是 $C^{\infty }$，且 $G$ 是 $G/H$ 在作用下遍历的李变换群

$$\varphi (g,hH)=g(hH)=ghH.$$

这个非平凡定理的证明可在 $[6,\mathsf{p}.120]$ 中找到。关键结果是 $G$ 上处处存在局部截面；每个陪集 $gH\in G/H$ 都有一个邻域 $W$ 以及一个光滑映射 $\alpha :W\to G$ ，它关于 $G/H$ 上的可微结构满足 $\pi \circ \alpha =\mathrm{id}\mathrm{on}\alpha (W)$

每个齐性流形都可表示为陪集空间上的左作用。设 $G$ 左遍历地作用于流形 $M$，且对任意点 $x\in M$，通过 ${\varphi }_x(g)=gx$ 定义映射 ${\varphi }_x:G\to M$。该映射是光滑的，因为它是两个光滑映射的复合 ${\varphi }_x=\varphi \circ i_x$，其中 $i_x:G\to G\times M$ 是由 $i_x(g)=(g,x)$ 定义的单射。因此，$x,$ 的 各向同性群(isotropy group) $G_x$（在第 2.6 节中定义为 $G_x=\{g|gx=x\}$）是 $G$ 的闭子群，因为它是闭单元素集的逆像，$G_x={\varphi }_x^{-1}(\{x\})$。通过 $\rho (g{G}_x)=gx$ 定义映射 $\rho :G/G_x\to M$。该映射是单射，因为

$$\begin{array}{c}\rho (gGx)=\rho (g^{\prime }{G}_x)⟹gx=g^{\prime }x\\ ⟹g^{-1}{g}^{\prime }\in G_x\\ ⟹g^{\prime }\in g{G}_x\\ ⟹g^{\prime }{G}_x=g{G}_x.\end{array}$$

此外，关于在 $G/G_x$ 上诱导出的可微结构，映射 $\rho$ 是 $C^{\infty }$，因为对于给定陪集 $g{G}_x$ 的邻域 $W$ 上的任意局部截面 $\alpha :W\to G$，我们可以写出 $\rho =\pi \circ \alpha$，它是光滑函数的复合。由于对所有陪集 $K=h{G}_x\in G/G_x$ 都有 $\rho (gK)=g(\rho (K))$，群 $G$ 在 $G/G_x$ 上的作用与它在 $M$ 上的作用相同。

随文练习

证明 $\rho$ 是关于在 $G/G_x$ 上诱导的商空间拓扑的连续映射

例 19.10

正交群 $O(n+1)$ 遍历地作用在单位 $n$-球面上

$$S^n=\left\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^{n+1}\mid (x^1{)}^2+(x^2{)}^2+\cdots +(x^{n+1}{)}^2=1\right\}\subset {\mathbb{R}}^{n+1},$$

因为对任意 $\mathbf{x}\in S^n$，都存在正交变换 $A$，使得 $\mathbf{x}=\mathsf{A}\mathbf{e}$，其中 $\mathbf{e}=(0,0,\dots ,0,1)$。事实上，任何最后一列具有与 $x$ 相同分量的正交矩阵，即 $A_{n+1}^i=x^i$，都满足要求。这样的正交矩阵通过施密特正交归一化存在，其中 $x$ 被变换为第 $(n+1)$ 个单位基向量

设 $H$ 为点 $e$ 的各向同性群，由所有如下形式的矩阵组成

$$\left(\begin{array}{ccc}& & 0\\ [B_j^i]& & ⋮\\ & & 0\\ \dots & 0& 1\end{array}\right)\text{ where }[B_j^i]\text{ is }n\times n\text{ orthogonal. }$$

因此 $H\cong O(n)$ 。由 $\mathsf{A}H\mapsto \mathsf{A}\mathbf{e}$ 定义的映射 $O(n+1)/H\to S^n$ 显然是单射，且关于 $O(n+1)/H$ 上的诱导拓扑连续。此外，$O(n+1)/H$ 是紧致的，因为它是由紧致空间 $O(n+1)$ 上的等价关系通过粘合得到的（见例 10.16）。因此映射 $O(n+1)/H\to S^n$ 是同胚，因为它是从紧致豪斯多夫空间到紧致空间的连续映射（见问题 10.17）。光滑性由上述一般结果推出。于是 $O(n+1)/O(n)$ 微分同胚于 $S^n$ ，类似地可以证明 $SO(n+1)/SO(n)\cong S^n$

例 19.11

保持闵可夫斯基空间内积$\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}=x^1{y}^1+x^2{y}^2+x^3{y}^3-x^4{y}^4$不变的矩阵变换群${\mathbf{x}}^{\prime }=\mathsf{L}\mathbf{x}$是洛伦兹群$O(3,1)$。使这一形式保持不变的所有变换构成的群，包括平移，

$$x^{\prime i}=L_j^i{x}^j+b^j,$$

是庞加莱群 $P(4)$（见例 2.30 和第 9 章）。原点的各向同性群显然是 $O(3,1)$。商空间 $P_4/O(3,1)$ 微分同胚于 ${\mathbb{R}}^4$，因为两个庞加莱变换 $P$ 和 $P^{\prime }$ 属于同一陪集当且仅当它们的平移部分相同，

$$\begin{array}{c}{P}^{-1}{P}^{\prime }\in O(3,1)⟺{\mathsf{L}}^{-1}({\mathsf{L}}^{\prime }\mathbf{x}+{\mathbf{b}}^{\prime })-{\mathsf{L}}^{-1}\mathbf{b}=\mathsf{Kx}\text{ for }\mathsf{K}\in O(3,1)\\ ⟺{\mathbf{b}}^{\prime }=\mathbf{b}.\end{array}$$

正规子群

定理 19.5 · 闭正规子群的商李群 (Lie group quotients by closed normal subgroups)

设 $H$ 为李群 $G$ 的闭正规子群。则商群 $G/H$ 是李群。

证明

映射 $\Psi :(aH,bH)\mapsto a{b}^{-1}H$ 从 $G/H\times G/H\to G/H$ 是 $C^{\infty }$ ，这是就 $G/H$ 上的自然可微结构而言。因为，若 $(K_a,{\alpha }_a:K_{a}G)$ 与 $(K_b,{\alpha }_b:K_{b}G)$ 是 $a$ 与 $b$ 处的任意一对局部截面，则在 $K_a\times K_b$ 上

$$\Psi =\pi \circ \psi \circ ({\alpha }_a\times {\alpha }_b)$$

其中 $\psi :G\times G\to G$ 是映射 $\psi (a,b)=a{b}^{-1}$。因此它处处局部是光滑映射的复合，从而是 $C^{\infty }$ -

现在设 $\phi :G\to H$ 是任意李群同态，并令 $N={\phi }^{-1}(\{e^{\prime }\})$ 为该同态的核，其中 $e^{\prime }$ 是李群 $H$ 的单位元。它显然是 $G.$ 的闭子群。由映射 $\phi$ 诱导的切映射 ${\phi }_{\ast }:\mathcal{GH}$ 是李代数同态。其核 $\mathcal{N}=({\phi }_{\ast }{)}^{-1}(0)$ 是 $\mathcal{G}$ 的理想，并且是对应于李子群 $N$ 的李代数，因为

$$\begin{array}{rl}Z\in \mathcal{N}& ⟺{\phi }_{\ast }Z=0\\ & ⟺\exp t{\phi }_{\ast }Z=e^{\prime }\\ & ⟺\phi (\exp tZ)=e^{\prime }\text{ by Eq. (19.10) }\\ & ⟺\exp tZ\in N.\end{array}$$

因此，若 $N$ 是 $G$ 的任意闭正规子群，则它是同态 $\pi :G\to H=G/N_{}$ 的核，而其李代数是李代数同态 ${\pi }_{\ast }:\mathcal{GH}.$ 的核。即，$\mathcal{H}\cong \mathcal{G}/\mathcal{N}$

例 19.12

设 $G$ 为加法阿贝尔群 $G={\mathbb{R}}^n$，而 $H$ 为所有坐标均为整数的点构成的离散子群。显然，$H$ 是 $G_{:}$ 的闭正规子群，其商群

$$T^n={\mathbb{R}}^n/H$$

是 $n$ 维环面（见例 10.14）。在环面群中，两个向量若相差整数坐标则视为等同，即 $[\mathbf{x}]=[\mathbf{y}]$ 在 $T^n$ 中当且仅当 $\mathbf{x}-\mathbf{y}=(k_1,k_2,\dots ,k_n)$，其中 $k_i$ 为整数。一维环面 $T=T^1$ 微分同胚于 ${\mathbb{R}}^2$ 中的单位圆，而 $n$ 维环面群是一维群的乘积 $T^n=T\times I\times \cdot \cdot \times T$。它是一个紧群。

诱导向量场

设 $G$ 是流形 $M$ 的一个李变换群，其右作用由映射 $\rho :G\times M\to M$ 定义。我们令 $\rho (p,g)=pg$，并约定 $pe=p$ 与 $p(gh)=(pg)h$。$G$ 上的每个左不变向量场 $X$ 都通过如下设定在 $M$ 上诱导出一个向量场 $\tilde{X}$：

$${\tilde{X}}_{p}f=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(p\exp tX){|}_{t=0}(p\in M)\text{\hspace{1em}(19.12)}$$

对任意光滑函数$f:M\to \mathbb{R}$。这称为由左不变向量场$X$诱导的向量场。

随文练习

通过在每个点 $p\in M_{:}$ 处验证线性性与莱布尼茨法则，即式（15.3）和（15.4），证明 $\tilde{X}$ 是 $M$ 上的向量场。

定理 19.6 · 诱导向量场保持李括号 (Induced vector fields preserve Lie brackets)

一对诱导向量场的李括号对应于相应左不变向量场的李乘积，

$$\widetilde{[X,Y]}=[\tilde{X},\tilde{Y}].\text{\hspace{1em}(19.13)}$$

证明

在进入证明的主要部分之前，我们需要一个关于 $[X,Y{]}_e$ 的表达式。设 ${\sigma }_y$ 是由向量场 $X$ 在 $G$ 上生成的局部单参数变换群。由式 (19.6)，

$${\sigma }_t(g)={\sigma }_t(ge)=g{\sigma }_t(e)=g\exp tX=R_{\exp tX}(g)$$

其中运算 $R_h$ 是 $h$ 的右平移。因此

$$[X,Y{]}_e=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t}[Y_e-\left({\sigma }_{t\ast }Y{)}_e\right]=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t}[Y_e-(R_{\exp (tX)\ast }Y{)}_e].\text{\hspace{1em}(19.14)}$$

对任意 $p\in M,g\in G$，定义映射 ${\rho }_p:G\to M$ 和 ${\rho }_g:M\to M$ 为

$${\rho }_p(g)={\rho }_g(p)=\rho (p,g)=pg.$$

然后

$${\tilde{X}}_p={\rho }_{p\ast }{X}_e\text{\hspace{1em}(19.15)}$$

因为若$f$是$M$上的任意光滑函数，则利用式(19.8)，我们有

$$\begin{array}{c}{\rho }_{p\ast }{X}_{e}f=X_e(f\circ {\rho }_p)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(f\circ {\rho }_p(\exp tX)){|}_{t=0}\\ =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(f(p\exp tX)){|}_{t=0}={\tilde{X}}_{p}f.\end{array}$$

由下式定义的映射 ${\tilde{\sigma }}_t:M\to M$

$${\tilde{\sigma }}_t(p)=p\exp tX={\rho }_{\exp tX}(p)$$

构成 $M$ 的一个单参数变换群，因为利用式 (19.9)，

$${\tilde{\sigma }}_{t+s}(p)={\tilde{\sigma }}_t\circ {\tilde{\sigma }}_t(p)$$

对于所有 $t$ 和 $s$。由式 (19.12)，它们诱导出向量场 $\tilde{X}.$，从而

$$[\tilde{X},\tilde{Y}{]}_p=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t}[{\tilde{Y}}_p-({\tilde{\sigma }}_{t\ast }\tilde{Y}{)}_p].\text{\hspace{1em}(19.16)}$$

应用${\tilde{\sigma }}_t$的定义，我们有

$$\begin{array}{rl}& {\left({\tilde{\sigma }}_{t\ast }\tilde{Y}\right)}_p={\left({\rho }_{\exp (tX)\ast }\tilde{Y}\right)}_p\\ & ={\rho }_{\exp (tX)\ast }{\rho }_p\exp (-tX)\ast Y_e\\ & ={\left({\rho }_{\exp tX}\circ {\rho }_p\exp (-tX)\right)}_{\ast }{Y}_e.\end{array}$$

括号中的映射可以写成

$${\rho }_{\exp tX}\circ {\rho }_{p\exp (-tX)}={\rho }_p\circ R_{\exp tX}\circ L_{\exp (-tX)}$$

因为

$${\rho }_{\exp tX}\circ {\rho }_{p\exp (-tX)}(g)=p\exp (-tX)g\exp tX={\rho }_p\circ R_{\exp tX}\circ L_{\exp (-tX)}(g).$$

因此，由于$Y$是左不变的

$$\begin{array}{rl}& {\left({\tilde{\sigma }}_{t\ast }\tilde{Y}\right)}_p={\rho }_{p\ast }\circ R_{\exp (tX)\ast }\circ L_{\exp (-tX)\ast }{Y}_e\\ & ={\rho }_{p\ast }\circ R_{\exp (tX)\ast }\left(Y_{\exp (-tX)}\right)\\ & ={\rho }_{p\ast }(R_{\exp (tX)\ast }{Y}_{\exp (-tX)}{)}_e.\end{array}$$

由于由式（19.15）可得 ${\tilde{Y}}_p={\rho }_{p\ast }{Y}_e$，将其代入式（19.16）并利用式（19.14）可得

$$\begin{array}{rl}& [\tilde{X},\tilde{Y}{]}_p={\rho }_{p\ast }({\lim }_{t\to 0}\frac{1}{t}[Y_e-(R_{\exp (tX)\ast }Y{)}_e\left]\right)\\ & ={\rho }_{p\ast }[X,Y{]}_e={\widetilde{[X,Y]}}_p,\end{array}$$

这证明了式（19.13）。

习题

习题 19.11

证明群 $G$ 在 $G/H$ 上的作用是有效的，当且仅当 $H$ 不包含 $G$ 的正规子群。[提示：使 $G/H$ 的所有点都保持不动的元素集合是 $\bigcap {}_{a\in G}aH{a}^{-1}$ 。]

习题 19.12

证明特殊正交群 $SO(n)$、伪正交群 $O(p,q)$ 与辛群 $Sp(n)$ 均为 $GL(n,\mathbb{R})$ 的闭子群。

(a) 证明复群 $SL(n,\mathbb{C}),O(n,\mathbb{C}),U(n),SU(n)$ 是 $GL(n,\mathbb{C})$ 的闭子群

(b) 证明酉群 $U(n)$ 和 $SU(n)$ 是紧群。

习题 19.13

证明李群 $G$ 的中心 $Z$，即由所有与每个元素 $g\in G,$ 交换的元素组成，是 $G$ 的闭正规子群。

证明一般复线性群 $GL(n+1,\mathbb{C})$ 在问题 15.4 中定义的复射影 $n$-空间 $C{P}^n$ 上遍历地作用，但不是有效地作用。证明 $GL(n+1,\mathbb{C})$ 的中心同构于 $GL(1,\mathbb{C})$，且 $GL(n+1,\mathbb{C})/GL(1,\mathbb{C})$ 是一个李群，它有效地且遍历地作用在 $C{P}^n$ 上

习题 19.14

证明 $SU(n+1)$ 遍历地作用在 $C{P}^n$ 上，且一个典型点的各向同性群——为方便起见，取等价类包含 $(0,0,\dots ,0,1)$ 的点——是 $U(n)$。由此证明商空间 $SU(n+1)/U(n)$ 同胚于 $C{P}^n$。类似地证明，

(a) $SO(n+1)/O(n)$ 同胚于实射影空间 $P^n$

(b) $U(n+1)/U(n)\cong SU(n+1)/SU(n)$ 同胚于 $S^{2n+1}$

习题 19.15

如同问题9.2中那样，每个洛伦兹变换$\mathsf{L}=[L^i{}_j]$ $I$都有$\det$ $L$ = ±1，并且或者$L_4^4\ge 1\mathrm{or}{L}_4^4\le -1$。由此证明洛伦兹群$G=O(3,1)$）有四个连通分支，

$$G_0=G^{++}:\det \mathsf{L}=1,L_4^4\ge 1G^{+-}:\det \mathsf{L}=1,L_4^4\le -1$$ $$G^{-+}:\det \mathsf{L}=-1,L_4^4\ge 1G^{--}:\det \mathsf{L}=-1,L_4^4\le -1.$$

证明分支群 $G/G_0$ 与离散阿贝尔群 $Z_2\times Z_2$ 同构

习题 19.16

证明：局部连通群 $G$ 的单位元分支 $G_0$ 由单位元 $e$ 的任意连通邻域生成：即 $G_0$ 的每个元素都可写成来自这样一个邻域的元素之乘积。

因此证明：连通群 $G$ 的每个离散正规子群 $N$ 都包含在 $G$ 的中心 $Z$ 中。

找出非连通群 $O(3)$ 的一个离散正规子群的例子，该子群不在 $O(3)$ 的中心内。

习题 19.17

设 $\mathcal{A}$ 为一个李代数，$X$ 为 $\mathcal{A}$ 中的任意元素。

(a) 证明由 ${\mathbf{ad}}_X(Y)=[X,Y]$ 定义的线性算符 ${\mathrm{ad}}_X:\mathcal{A}\to \mathcal{A}$ 是从 $\mathcal{A}$ 到 $\mathcal{G}\mathcal{L}(\mathcal{A})$ 的李代数同态（称为 伴随表示(adjoint representation)）。

(b) 对任意李群 $G$，证明由 $C_g(a)=ga{g}^{-1}$ 定义的每个内自同构 $C_g:G\to G$（见 2.4 节）都是李群自同构，并且由 $\mathrm{Ad}(g)=C_{g\ast }$ 定义的映射 $\mathrm{Ad}:G\to GL(\mathcal{G})$ 是李群同态。

(c) 证明 ${\mathbf{Ad}}_{\ast }=\mathbf{ad}.$

习题 19.18

(a) 证明一个李代数 $\mathcal{A}$ 的所有李代数自同构构成的群是 $\mathrm{Aut}(\mathcal{A})\subseteq GL(\mathcal{A})$ 的一个李子群

(b) 若线性算符 $D:\mathcal{A}\to \mathcal{A}$ 满足 $D[X,Y]=[DX,Y]+[X,DY]$，则称其为 $\mathcal{A}$ 上的 导子(derivation)。证明 $\mathcal{A}$ 的所有导子构成的集合形成一个李代数，$\partial (\mathcal{A})$，即 $\mathrm{Aut}(\mathcal{A})$ 的李代数。