2.1 群论基础

集合 $G$上任意一对 $g,h\in G$，都存在 $gh\in G$称为其乘积(product)，满足

• (Gp1) 结合律(associative law): 对全体 $g,h,k\in G$有$g(hk)=(gh)k$

• (Gp2) 存在恒等元(identity element): $e\in G$,使得对全体$g\in G$

$$eg=ge=g$$

• (Gp3) 每个群元 $g\in G$有逆元(inverse) $g^{-1}\in G$ 使得

$$g^{-1}g=g{g}^{-1}=e$$

这样的集合称为群(group)

对任意两个元素都存在乘积，且乘积在群内，这个性质称为封闭性(closure property)

恒等元是唯一的：若 $e^{\prime }$ 也是恒等元，则由 (Gp2) 得 $e=e^{\prime }e=e^{\prime }$。

随文练习

用类似的论证证明，每个 $g\in G$ 都有唯一的逆元 $g^{-1}$。

随文练习

证明 $(gh{)}^{-1}=h^{-1}{g}^{-1}$。

如果群元可交换，即

$$gh=hg$$

总成立，则称它为阿贝尔群(abelian group)。如果群乘法写成加法的形式，则默认它是阿贝尔群，$g$ 的逆元是 $-g$。

集合 $H\subseteq G$满足:

• (a) $h,k\in H\Rightarrow hk\in H$

• (b) $e\in H$

• (c) $h\in H,h^{-1}\in H$

$H$称为 $G$的子群(subgroup)，无需结合律(Gp1),因为结合律自动继承下来了

例 2.1

以加法为组成法则的整数 $\mathbb{Z}$ 组成一个群，称为整数加法群(additive group of integers)。严格地说，这个群应该写成 $(\mathbb{Z},+)$，但 “加法 “一词隐含了组成法则。其特征元素是整数 0，任何整数 n 的逆元是-n。偶数整数 $\{0,\pm 2,\pm 4,...\}$ 构成了整数加法群的一个子群。

例 2.2

全体实数和加法形成一个群，称为实数加法群(additive group of reals). $e=0$,$x$的逆是 $-x$ ，整数加法群和有理数加法群显然都是 $\mathbb{R}$的子群 。有理数 $\mathbb{Q}$ 关于加法是封闭的，也构成可加实数 $\mathbb{R}$的一个子群，因为数 0 是有理数，如果 $p/q$ 是有理数，那么 $-p/q$ 也是有理数。

例 2.3

非零实数$\dot{\mathbb{R}}=\mathbb{R}-\{0\}$形成一个群，称作实数乘法群(multiplicative group of reals)，群乘法是普通乘法，恒等元$e=1$。$x$ 的逆是 $x^{-1}=1/x$。0 除外，因为它没有倒数。 类似的，$\dot{\mathbb{Q}}$也是$\dot{\mathbb{R}}$的子群 $\mathbb{C}$上同样有加法群，$\dot{\mathbb{C}}$上同样有乘法群

随文练习

证明非零有理数 $\dot{\mathbb{Q}}$ 构成非零实数乘法群 $\dot{\mathbb{R}}$ 的子群。

随文练习

证明复数 $\mathbb{C}$ 构成一个关于加法的群，并且 $\dot{\mathbb{C}}=\mathbb{C}-\{0\}$ 是一个关于复数乘法的群。

随文练习

下面哪些集合构成加法群：(i) 有理数，(ii) 无理数，(iii) 模为 1 的复数？就乘法而言，它们哪个是一个群？

由有限个元素组成的群 $G$ 称为有限群(finite group)。$G$中元素的个数称为其阶(order)，用$|G|$表示。

例 2.4

让 $k$ 是任意自然数，${\mathbb{Z}}_k=\{[0],[1],\dots ,[k-1]\}$ 是例 1.3 中定义的模为 $k$ 的整数，模为 $k$ 的加法为合成律

$$[a]+[b]=[a+b].$$

${\mathbb{Z}}_k$ 被称为模 $k$ 的加法群。它是一个有限的群，其阶数为 $k$，写作 $\left|{\mathbb{Z}}_k\right|=k$。将 ${\mathbb{Z}}_k$ 中的元素写成 $0,1,\dots ,k-1$ 无歧义，而 $[a+b]$ 通常用 $a+b\mathrm{mod}k$ 来表示。

随文练习

证明模 $k$ 加法的定义不受余数类 $[a]$ 和 $[b]$ 的选择影响。

例 2.5

如果一个群 $G$ 有一个元素 $a$，使得它的幂 $\left\{a,a^2,a^3,\dots \right\}$ 遍历其所有元素，则称 $G$ 为循环群(cyclic group)，而 $a$ 称为群的生成元(generator)。如果 $G$ 是一个有限的循环群，$a$ 是一个生成元，那么存在一个正整数 $m$，使得 $a^m=e$。如果 $m$ 是最小的这样的整数，那么对于任意 $g\in G$，都可以唯一地写成 $g=a^i$，其中 $1\le i\le m$，因为如果 $g=a^i=a^j$，且 $1\le i<j\le m$，则有矛盾 $a^{j-i}=e$，而 $1\le (j-i)<m$。在这种情况下，群被表示为 $C_m$，其阶数为 $\left|C_m\right|=m$。模 $k$ 的加法群是一个阶数为 $k$ 的循环群，但在这种情况下，$a^n$ 的表示方式被替换为

$$na=\underset{n}{\underbrace{a+a+\cdots +a}}\mathrm{mod}k.$$

例 2.6

设 $p>2$ 为任意质数。模 $p$ 的非零剩余类在模 $p$ 乘法下形成一个阶为 $p-1$ 的群，其运算为

$$[a][b]=[ab]\equiv ab\mathrm{mod}p,$$

记为 $G_p$。单位元显然是剩余类 $[1]$。要证明逆元存在，需要用到数论中的以下结果：若 $p$ 和 $q$ 互素，则存在整数 $k$ 和 $m$，使得 $kp+mq=1$。由于 $p$ 是质数，若 $[q]\ne [0]$，则 $q$ 与 $p$ 互素，因此存在这样的 $k$ 和 $m$，满足

$$[m][q]=[1]-[k][p]=[1].$$

因此 $[q]$ 有逆元 $[q{]}^{-1}=[m]$。

对于阶较小的有限群，可以用乘法表表示其运算，其中第 $(i,j)$ 项是第 $i$ 个元素与第 $j$ 个元素的乘积。例如，$G_7$ 的乘法表为：

$G_7$	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6	1	3	5
3	3	6	2	5	1	4
4	4	1	5	2	6	3
5	5	3	1	6	4	2
6	6	5	4	3	2	1